Гильберта инвариантный интеграл

криволинейный интеграл от замкнутой дифференциальной формы, являющейся производной действия функционала вариационного исчисления. Для функционала [img: http://localhost:8080/file/010414-33.jpg] ищется вектор-функция [img: http://localhost:8080/file/010414-34.jpg] наз. полем, так, чтобы интеграл [img: http://localhost:8080/file/010414-35.jpg] не зависел от пути интегрирования. Если такая функция существует, то [img: http://localhost:8080/file/010414-36.jpg] иаз. инвариантным интегралом Гильберта. Условие замкнутости подинтегральной дифференциальной формы порождает систему уравнений с частными производными 1-го порядка. Г. и. и. наиболее естественным путем воссоединяет теорию Вейерштрасса и теорию Гамильтона-Якоби. Значение Г. и. и. на кривых, соединяющих точки [img: http://localhost:8080/file/010414-37.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010414-38.jpg], становится, в силу инвариантности [img: http://localhost:8080/file/010414-39.jpg], функцией [img: http://localhost:8080/file/010414-40.jpg] этой пары точек и наз. действием. Линия уровня [img: http://localhost:8080/file/010414-41.jpg] наз. трансверсалями поля [img: http://localhost:8080/file/010414-42.jpg]. Решения уравнения [img: http://localhost:8080/file/010414-43.jpg] являются экстремалями функционала [img: http://localhost:8080/file/010414-44.jpg]. Обратно, если нек-рая область покрыта полем экстремалей, то интеграл [img: http://localhost:8080/file/010414-45.jpg], построенный по функции [img: http://localhost:8080/file/010414-46.jpg], равной производной экстремали, проходящей через [img: http://localhost:8080/file/010414-47.jpg], есть Г. и. и. Возможность подобного окружения, а значит, и построения Г. и. и., формулируется обычно в виде Якоби условия. Если кривая [img: http://localhost:8080/file/010414-48.jpg] проходит в области, покрытой полем, через точки [img: http://localhost:8080/file/010414-49.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010414-50.jpg], соединенные также экстремалью [img: http://localhost:8080/file/010414-51.jpg], то инвариантность Г. и. и. и равенство [img: http://localhost:8080/file/010414-52.jpg] позволяют получить Вейерштрасса формулу для приращения функционала, а следовательно, и достаточное Вейерштрасса условие экстремума. При закрепленной точке [img: http://localhost:8080/file/010414-53.jpg] действие [img: http://localhost:8080/file/010414-54.jpg] есть функция [img: http://localhost:8080/file/010414-55.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/010414-56.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010414-57.jpg] Переход, к каноническим координатам [img: http://localhost:8080/file/010414-58.jpg] позволяет записать Г. и. и. в виде [img: http://localhost:8080/file/010414-59.jpg] при этом [img: http://localhost:8080/file/010414-60.jpg] Эти соотношения эквивалентны уравнению Гамильтона - Якоби. Интеграл [img: http://localhost:8080/file/010414-61.jpg] для поля геодезических был введен Э. Бельтрами [1] в 1868, а в общем случае - Д. Гильбертом [2] - [4] в 1900.