Гильберта схема

- конструкция в алгебраич. геометрии, позволяющая снабжать множество замкнутых подмногообразий проективного пространства с заданным Гильберта многочленом структурой алгебраич. многообразия. Более точно, пусть X - проективная схема над локально нётеровой схемой [img: http://localhost:8080/file/010415-1.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010415-2.jpg] - функтор, сопоставляющий каждой S-схеме S' множество замкнутых подсхем схемы [img: http://localhost:8080/file/010415-3.jpg] плоских над [img: http://localhost:8080/file/010415-4.jpg]. Функтор [img: http://localhost:8080/file/010415-5.jpg] представим локально нётеровой схемой, к-рая наз. схемой Гильберта S-схемы Xи обозначается через [img: http://localhost:8080/file/010415-6.jpg] (см. [4]). По определению представимых функторов в алгебраич. геометрии, для любой [img: http://localhost:8080/file/010415-7.jpg] -схемы [img: http://localhost:8080/file/010415-8.jpg] имеет место биекция [img: http://localhost:8080/file/010415-9.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010415-10.jpg]. В частности, если S - спектр поля k,a [img: http://localhost:8080/file/010415-11.jpg] - проективное пространство над k. то множество рациональных k-точек схемы [img: http://localhost:8080/file/010415-12.jpg] находится во взаимно однозначном соответствии с множеством замкнутых подмногообразий в [img: http://localhost:8080/file/010415-13.jpg]. Для любого полинома [img: http://localhost:8080/file/010415-14.jpg] с рациональными коэффициентами функтор [img: http://localhost:8080/file/010415-15.jpg] содержит подфунк-тор [img: http://localhost:8080/file/010415-16.jpg], выделяющий в множестве [img: http://localhost:8080/file/010415-17.jpg] подмножество подсхем [img: http://localhost:8080/file/010415-18.jpg] таких, что для любой точки [img: http://localhost:8080/file/010415-19.jpg] слой [img: http://localhost:8080/file/010415-20.jpg] проекций [img: http://localhost:8080/file/010415-21.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010415-22.jpg] имеет [img: http://localhost:8080/file/010415-23.jpg] в качестве своего многочлена Гильберта. Функтор [img: http://localhost:8080/file/010415-24.jpg] представим схемой [img: http://localhost:8080/file/010415-25.jpg], проективной над S. Схема [img: http://localhost:8080/file/010415-26.jpg] является прямой суммой схем [img: http://localhost:8080/file/010415-27.jpg] по всем [img: http://localhost:8080/file/010415-28.jpg]. Для любой связной базисной схемы Sсхема [img: http://localhost:8080/file/010415-29.jpg] также связна [2].