Гильбертова алгебра

алгебра Ас инволюцией над полем комплексных чисел, снабженная невырожденным скалярным произведением (|), причем выполняются следующие аксиомы: 1) [img: http://localhost:8080/file/010415-197.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010415-198.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010415-199.jpg] 3) для всех [img: http://localhost:8080/file/010415-200.jpg] отображение [img: http://localhost:8080/file/010415-201.jpg] пространства Ав Анепрерывно; 4) множество элементов вида [img: http://localhost:8080/file/010415-202.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010415-203.jpg] всюду плотно в А. Примерами гильбертовых алгебр являются алгебры [img: http://localhost:8080/file/010415-204.jpg] (относительно свертки), где [img: http://localhost:8080/file/010415-205.jpg] - компактная топологич. группа, и алгебра операторов Гильберта - Шмидта в данном гильбертовом пространстве. Пусть А - Г. а., Н - гильбертово пространство - пополнение [img: http://localhost:8080/file/010415-206.jpg] - элементы алгебры ограниченных линейных операторов в H, являющиеся продолжениями по непрерывности умножений слева и справа на хв А. Отображение [img: http://localhost:8080/file/010415-207.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010415-208.jpg]) есть невырожденное представление алгебры А(соответственно алгебры с инволюцией, противоположной А).в гильбертовом пространстве Н. Слабое замыкание семейства операторов [img: http://localhost:8080/file/010415-209.jpg] (соответственно V).является алгеброй Неймана в Н;она наз. левой (соответственно правой) алгеброй Неймана данной Г. а. Аи обозначается [img: http://localhost:8080/file/010415-210.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010415-211.jpg]); [img: http://localhost:8080/file/010415-212.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010415-213.jpg] являются коммутантами друг друга; это - полуконечные алгебры Неймана. Любая Г. а. однозначно определяет нек-рый точный нормальный полуконечный след на алгебре Неймана [img: http://localhost:8080/file/010415-214.jpg]; обратно, если дана алгебра Неймана [img: http://localhost:8080/file/010415-215.jpg] и точный нормальный полуконечный след на [img: http://localhost:8080/file/010415-216.jpg], то можно построить Г. а. такую, что левая алгебра Неймана этой Г. а. изоморфна [img: http://localhost:8080/file/010415-217.jpg], и след, определяемый на [img: http://localhost:8080/file/010415-218.jpg] Г. а., совпадает с исходным (см. [1]). Таким образом, Г. а. является средством изучения полуконечных алгебр Неймана и следов на них; нек-рое обобщение понятия Г. а. позволяет изучать аналогичными средствами не обязательно полуконечные алгебры Неймана (см. [2]).