Гиперболическая метрика

гиперболическая мера,- метрика в области комплексной плоскости, обладающей по крайней мере тремя граничными точками, инвариантная относительно автоморфизмов этой области. Гиперболическая метрика в круге Е: [img: http://localhost:8080/file/010416-184.jpg]. определяется линейным элементом [img: http://localhost:8080/file/010416-185.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010416-186.jpg] - линейный элемент евклидовой длины. Введение Г. м. в круге Еприводит к модели Лобачевского геометрии. Роль прямых в данной модели играют дуги евклидовых окружностей, ортогональных к [img: http://localhost:8080/file/010416-187.jpg] лежащие в Е;роль бесконечно удаленной точки играет окружность [img: http://localhost:8080/file/010416-188.jpg]. Движениями в ней служат дробно-линейные преобразования круга Ена себя. Гиперболическая длина кривой L, лежащей в круге Е, определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/010416-189.jpg] Гиперболическое расстояние между точками [img: http://localhost:8080/file/010416-190.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010416-191.jpg] круга Еравно [img: http://localhost:8080/file/010416-192.jpg] Множество точек круга Е, гиперболич. расстояние к-рых от данной точки [img: http://localhost:8080/file/010416-193.jpg] не превосходит заданного числа [img: http://localhost:8080/file/010416-194.jpg] т. е. гиперболический круг в Ес гиперболич. центром в точке [img: http://localhost:8080/file/010416-195.jpg] и гиперболич. радиусом R, является евклидовым кругом с центром, отличным от [img: http://localhost:8080/file/010416-196.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010416-197.jpg] Гиперболическая площадь области В, лежащей в Е, определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/010416-198.jpg] Величины [img: http://localhost:8080/file/010416-199.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010416-200.jpg] инвариантны относительно дробно-линейных преобразований круга Ена себя. Гиперболическая метрика в любой области Dплоскости г, имеющей не менее трех граничных точек, определяется как перенесенная в Dпри конформном отображении [img: http://localhost:8080/file/010416-201.jpg] области Dна круг Е: [img: http://localhost:8080/file/010416-202.jpg] гиперболич. метрика круга Е:ее линейный элемент определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/010416-203.jpg] Область, имеющую не более двух граничных точек, уже нельзя конформно отобразить на круг. Величина [img: http://localhost:8080/file/010416-204.jpg] наз. плотностью Г. м. области D. Гиперболич. метрика области Dне зависит ни от выбора отображающей функции, ни от выбора ее ветви и вполне определяется областью Dи положением точек в D. Гиперболич. длина кривой L, лежащей в D, находится по формуле [img: http://localhost:8080/file/010416-205.jpg] Гиперболическое расстояние между точками [img: http://localhost:8080/file/010416-206.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010416-207.jpg] области Dравно [img: http://localhost:8080/file/010416-208.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010416-209.jpg] - любая функция, конформно отображающая Dна круг Е. Гиперболическим кругом в области D, как и в случае круга [img: http://localhost:8080/file/010416-210.jpg], наз. множество точек области D, гиперболич. расстояние к-рых от данной точки области D (гиперболич. центра) не превосходит заданного положительного числа (гиперболич. радиуса). Если область Dмногосвязна, гиперболич. круг в Dесть, вообще говоря, многосвязная область. Гиперболическая площадь области В, лежащей в D, находится по формуле [img: http://localhost:8080/file/010416-211.jpg] Величины [img: http://localhost:8080/file/010416-212.jpg] являются инвариантами относительно конформных отображений области D(одно из основных свойств Г. м. в D).