Гиперболическое множество

гладкой динамической системы {St} - компактное подмножество Fфазового многообразия М, целиком состоящее из траекторий, в окрестности каждой из к-рых поведение (по отношению к ней) всех соседних траекторий (включая и те, к-рые не лежат в F).напоминает поведение траекторий возле седла. Точнее, Г. м. гладкой динамич. системы [img: http://localhost:8080/file/010417-128.jpg] - это такое компактное инвариантное подмножество Fфазового многообразия М, что в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/010417-129.jpg] в касательном пространстве [img: http://localhost:8080/file/010417-130.jpg] к Мимеются подпространства [img: http://localhost:8080/file/010417-131.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010417-132.jpg], для к-рых выполняются следующие два условия. 1) Действие дифференциалов [img: http://localhost:8080/file/010417-133.jpg] отображений [img: http://localhost:8080/file/010417-134.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/010417-135.jpg] на векторы [img: http://localhost:8080/file/010417-136.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010417-137.jpg] удовлетворяет неравенствам (см. Дифференцирование отображений). [img: http://localhost:8080/file/010417-138.jpg] с нек-рыми константами [img: http://localhost:8080/file/010417-139.jpg] не зависящими от х.2) Если [img: http://localhost:8080/file/010417-140.jpg] - каскад (т. е. время [img: http://localhost:8080/file/010417-141.jpg] принимает целочисленные значения), то [img: http://localhost:8080/file/010417-142.jpg] а если [img: http://localhost:8080/file/010417-143.jpg] -поток, [img: http://localhost:8080/file/010417-144.jpg] то где [img: http://localhost:8080/file/010417-145.jpg] - одномерное подпространство, натянутое на вектор фазовой скорости (тем самым предполагается, что последний нигде на Fне обращается в нуль). Кроме того, для удобства нек-рых формулировок бывает целесообразно причислить к Г. м. такие положения равновесия потоков, для к-рых собственные значения матрицы линеаризованной системы расположены вне мнимой оси. Подпространство [img: http://localhost:8080/file/010417-146.jpg] наз. устойчивым, [img: http://localhost:8080/file/010417-147.jpg] - неустойчивым, [img: http://localhost:8080/file/010417-148.jpg] - нейтральным. Точки [img: http://localhost:8080/file/010417-149.jpg], для к-рых [img: http://localhost:8080/file/010417-150.jpg] неограниченно сближается с [img: http://localhost:8080/file/010417-151.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010417-152.jpg], образуют нек-рое гладкое многообразие [img: http://localhost:8080/file/010417-153.jpg], касающееся [img: http://localhost:8080/file/010417-154.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/010417-155.jpg]; оно наз. устойчивым многообразием точки х. Объединение [img: http://localhost:8080/file/010417-156.jpg] для всех х, лежащих на одной траектории, наз. устойчивым многообразием этой траектории. Аналогично вводятся неустойчивые многообразия точки и траектории. Классич. пример Г. м. потока - периодич. траектория, для к-рой лишь один мультипликатор уравнения в вариациях равен по модулю единице. У нек-рых систем все фазовое пространство является Г. м. (см. У-система). Много примеров Г. м. было обнаружено при изучении динамич. систем классич. происхождения (напр., в небесной механике, см. [1]). В общем виде Г. м. были введены С. Смейлом (§. Smale) в 1965 (см. [2]), и с тех пор они играют важную роль в теории гладких динамич. систем, будучи как объектом исследования, так и составной частью многих примеров (см. также [3]).