Гипергеометрическое распределение

распределение вероятностей, заданное формулой [img: http://localhost:8080/file/010418-70.jpg] где М, N и n - целые неотрицательные числа и [img: http://localhost:8080/file/010418-71.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010418-72.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010418-73.jpg] (здесь [img: http://localhost:8080/file/010418-74.jpg] - биномиальный коэффициент). Г. р. обычно связано с выбором без возвращения, а именно: формула (*) указывает вероятность получения ровно та "отмеченных" элементов в случайной выборке объема пиз генеральной совокупности, содержащей N элементов, среди к-рых М"отмеченных" п N-M"неотмеченных" элементов. При этом вероятность (*) определена лишь для [img: http://localhost:8080/file/010418-75.jpg] Однако определение (*) можно использовать при всех [img: http://localhost:8080/file/010418-76.jpg], т. к. можно считать, что [img: http://localhost:8080/file/010418-77.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010418-78.jpg], поэтому равенство [img: http://localhost:8080/file/010418-79.jpg] нужно понимать как невозможность получить в выборке [img: http://localhost:8080/file/010418-80.jpg] "отмеченных" элементов. Сумма значений [img: http://localhost:8080/file/010418-81.jpg], распространенная на все выборочное пространство, равна 1. Если обозначить [img: http://localhost:8080/file/010418-82.jpg], то (*) можно переписать в иной форме: [img: http://localhost:8080/file/010418-83.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010418-84.jpg] Если рпостоянна ц [img: http://localhost:8080/file/010418-85.jpg], то имеет место биномиальное приближение [img: http://localhost:8080/file/010418-86.jpg] Среднее значение Г. р. не зависит от Nи совпадает со средним пр. соответствующего биномиального распределения Дисперсия Г. р. [img: http://localhost:8080/file/010418-87.jpg] не превосходит дисперсии биномиального закона [img: http://localhost:8080/file/010418-88.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010418-89.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/010418-90.jpg] моменты любого порядка Г. р. стремятся к соответствующим значениям моментов биномиального распределения. Производящая функция Г. р. имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/010418-91.jpg] Ряд в правой части представляет собой гипергеометрическую функцию [img: http://localhost:8080/file/010418-92.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010418-93.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010418-94.jpg] (этому обстоятельству распределение обязано своим названием). Вероятность (*) и соответствующая функция распределения табулированы в широких пределах.