Гипергеометрическое уравнение

уравнение Гаусса,- линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/010418-95.jpg] или, в самосопряженной форме, [img: http://localhost:8080/file/010418-96.jpg] Переменные [img: http://localhost:8080/file/010418-97.jpg] и параметры [img: http://localhost:8080/file/010418-98.jpg] в общем случае могут принимать любые комплексные значения. После подстановки [img: http://localhost:8080/file/010418-99.jpg] получается приведенная форма уравнения (1): [img: http://localhost:8080/file/010418-100.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010418-101.jpg] Уравнение (1) подробно изучал К. Гаусс [1] в связи с развитой им теорией гипергеометрических рядов, но еще раньше это уравнение (и его решение) рассматривал Л. Эйлер (L. Euler). Решения уравнения (1) выражаются через гипергеометрическую функцию [img: http://localhost:8080/file/010418-102.jpg]. Если g не равно целому числу, то общее решение уравнения (1) можно записать в виде [img: http://localhost:8080/file/010418-103.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010418-104.jpg] - произвольные постоянные; представление (3) справедливо в комплексной плоскости z с разрезами [img: http://localhost:8080/file/010418-105.jpg] В частности, в действительном случае формула (3) дает общее решение уравнения (1) на интервале [img: http://localhost:8080/file/010418-106.jpg] Для целых значений [img: http://localhost:8080/file/010418-107.jpg] общее решение имеет более сложный вид (возможно существование членов, содержащих логарифмы). В качестве фундаментальной системы решений уравнения (1) можно выбирать и иные функции, отличные от указанных в (3). Напр., если [img: http://localhost:8080/file/010418-108.jpg] не равно целому числу, то [img: http://localhost:8080/file/010418-109.jpg] есть общее решение уравнения (1) в комплексной плоскости zс разрезом [img: http://localhost:8080/file/010418-110.jpg] (см. [2], [3]). Г. у. включает как частные случаи ряд дифференциальных уравнений, встречающихся в приложениях; многие линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка преобразованием неизвестной функции и независимой переменной приводятся к уравнению (1) (см. [4]). Особенно большое значение имеет близкое уравнению (1) вырожденное гипергеометрическое уравнение. Отношение s(z) двух линейно независимых решений уравнения (2) удовлетворяет Шварца уравнению, тесно связанному с задачей конформного отображения полуплоскости на треугольник, ограниченный тремя дугами окружностей. Изучение обратной функции z(s).приводит к понятию автоморфной функции (см. [5]). Имеются линейные уравнения высших порядков, свойства решений к-рых аналогичны свойствам гипергеометрич. функции: решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/010418-111.jpg] -го порядка [img: http://localhost:8080/file/010418-112.jpg] есть обобщенная гипергеометрическая функция [img: http://localhost:8080/file/010418-113.jpg] содержащая [img: http://localhost:8080/file/010418-114.jpg] параметров. В частности, обобщенное Г. у. 3-го порядка, имеющее решение [img: http://localhost:8080/file/010418-115.jpg] можно представить в форме [img: http://localhost:8080/file/010418-116.jpg]