Гиперкомплексное число

элемент конечномерной алгебры с единицей над полем действительных чисел [img: http://localhost:8080/file/010418-193.jpg] (ранее называвшейся гиперкомплексной системой). Исторически Г. ч. возникли как обобщение комплексных чисел. Действия над комплексными числами соответствуют простейшим геометрия, преобразованиям плоскости (сдвигу, вращению, растяжению и их комбинациям). При попытках построить числа, к-рые играли бы для трехмерного пространства роль комплексных чисел для плоскости, выяснилось, что здесь не может быть полной аналогии; это привело к созданию и развитию теории систем Г. ч. Гиперкомплексная система ранга пполучается введением умножения в n-мерном действительном пространстве [img: http://localhost:8080/file/010418-194.jpg], удовлетворяющего аксиомам алгебры над полем. Пусть 1 - единица гиперкомплексной системы и [img: http://localhost:8080/file/010418-195.jpg] - некоторый базис пространства [img: http://localhost:8080/file/010418-196.jpg]. Г. ч. [img: http://localhost:8080/file/010418-197.jpg] из гиперкомплексной системы Uназ. сопряженным Г. ч. [img: http://localhost:8080/file/010418-198.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010418-199.jpg] а е- некоторый новый символ. Множество [img: http://localhost:8080/file/010418-200.jpg] можно превратить в гиперкомплексную систему, определяя сложение формулой [img: http://localhost:8080/file/010418-201.jpg] и умножение формулой [img: http://localhost:8080/file/010418-202.jpg] Гиперкомплексная система [img: http://localhost:8080/file/010418-203.jpg] наз. удвоением гиперкомплексной системы [img: http://localhost:8080/file/010418-204.jpg]. Примеры гиперкомплексных систем: действительные числа, комплексные числа, кватернионы, Кэли числа (в этом перечне каждая следующая система получается из предыдущей удвоением). Другие примеры - системы двойных и дуальных чисел, Г. ч. вида [img: http://localhost:8080/file/010418-205.jpg] при n=4, наз. числами Клиффорда - Липшица (эти Г. ч. являются элементами Клиффорда алгебр ранга 2n). Важным примером гиперкомплексных систем являются полные матричные алгебры над [img: http://localhost:8080/file/010418-206.jpg]. Иногда в определение системы Г. ч. включают требование ассоциативности умножения или отождествляют понятие алгебры и гиперкомплексной системы.