Гиперэллиптическии интеграл

частный случай абелееа интеграла [img: http://localhost:8080/file/010418-291.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010418-292.jpg] - рациональная функция от переменных [img: http://localhost:8080/file/010418-293.jpg] связанных алгебраич. уравнением частного вида [img: http://localhost:8080/file/010418-294.jpg] здесь Р(z) - многочлен степени [img: http://localhost:8080/file/010419-1.jpg] без кратных корней; при [img: http://localhost:8080/file/010419-2.jpg] получаются эллиптические интегралы, случай [img: http://localhost:8080/file/010419-3.jpg] иногда наз. ультраэллиптическим. Уравнению (2) соответствует двулистная компактная рнманова поверхность Fрода [img: http://localhost:8080/file/010419-4.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010419-5.jpg] - четно, и рода [img: http://localhost:8080/file/010419-6.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010419-7.jpg] - нечетно; таким образом, в случае Г. и. [img: http://localhost:8080/file/010419-8.jpg]. На [img: http://localhost:8080/file/010419-9.jpg] функции [img: http://localhost:8080/file/010419-10.jpg] а следовательно и [img: http://localhost:8080/file/010419-11.jpg], однозначны. Интеграл (1), рассматриваемый Как определенный, задается на Fкак криволинейный интеграл от аналитич. функции, взятый вдоль нек-рого спрямляемого пути L, причем, вообще говоря, задание только начальной и конечной точек пути L не вполне определяет значение интеграла (1). Как и в общем случае абелевых интегралов, любой Г. и. можно выразить в виде линейной комбинации элементарных функций и канонических Г. и. I, II, III родов, имеющих свой специфич. вид. Так, нормальные Г. и. I рода являются линейными комбинациями Г. и. I рода вида [img: http://localhost:8080/file/010419-12.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010419-13.jpg] - простейший базис абелевых дифференциалов 1 рода для случая гиперэллиптич. поверхности F. Явные выражения для абелевых дифференциалов II и III родов и для соответствующих Г. и. также легко выписываются (см. [2]). В основных чертах теория Г. и. совпадает с общей теорией абелевых интегралов. Все рациональные функции [img: http://localhost:8080/file/010419-14.jpg] от [img: http://localhost:8080/file/010419-15.jpg] образуют гиперэллннтическое поле алгеб-раич. функций, соответствующее данному уравнению (2) и имеющее род g. Всякая компактная риманова поверхность рода g= 1 или g= 2 допускает эллиптическое или гиперэллиптич. поле, соответственно. Однако уже при g=3 существуют компактные римановы поверхности Fболее сложной структуры, не обладающие этим свойством.