Главных идеалов кольцо

ассоциативное кольцо R с единицей, в к-ром все левые п правые идеалы являются главными, т. е. имеют вид [img: http://localhost:8080/file/010419-218.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010419-219.jpg], соответственно, где [img: http://localhost:8080/file/010419-220.jpg]. Примеры Г. и. к.: кольцо целых чисел, кольцо многочленов [img: http://localhost:8080/file/010419-221.jpg] над полем F, кольцо косых многочленов [img: http://localhost:8080/file/010419-222.jpg] над полем Fс автоморфизмом [img: http://localhost:8080/file/010419-223.jpg] (элементы [img: http://localhost:8080/file/010419-224.jpg] имеют вид [img: http://localhost:8080/file/010419-225.jpg] сложение этих элементов обычное, а определяется умножение законами дистрибутивности и равенством [img: http://localhost:8080/file/010419-226.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010419-227.jpg]), кольцо дифференциальных многочленов [img: http://localhost:8080/file/010419-228.jpg] над полем Fс дифференцированием [img: http://localhost:8080/file/010419-229.jpg] (это кольцо также состоит из элементов [img: http://localhost:8080/file/010419-230.jpg] причем сложение обычное, а умножение определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/010419-231.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010419-232.jpg]). Г. и. к. без делителей нуля наз. областью главных идеалов. Коммутативное Г. п. к. является прямой суммой областей главных идеалов п Г. и. к., обладающих единственным простым идеалом, к-рый нильпотентен (см. [2], с. 282). Если R - область главных идеалов, то два ненулевые элемента а, b кольца R имеют наибольший общий левый делитель (а, b).и наименьшее общее правое кратное [img: http://localhost:8080/file/010419-233.jpg], к-рые определяются как элементы, удовлетворяющие равенствам: [img: http://localhost:8080/file/010419-234.jpg] Элементы [img: http://localhost:8080/file/010419-235.jpg] единственны с точностью до обратимого правого множителя. Область главных идеалов является областью с однозначным разложением на множители. Двусторонние идеалы области главных идеалов образуют относительно умножения свободную коммутативную полугруппу с нулем и единицей (свободными порождающими этой полугруппы будут максимальные идеалы кольца). Подмодуль Nсвободного модуля Мконечного ранга пнад Rявляется свободным модулем ранга [img: http://localhost:8080/file/010419-236.jpg] над R, п в модулях Ми Nможно так выбрать базисы [img: http://localhost:8080/file/010419-237.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010419-238.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010419-239.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010419-240.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010419-241.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010419-242.jpg] является полным (т. е. [img: http://localhost:8080/file/010419-243.jpg]) делителем элементов [img: http://localhost:8080/file/010419-244.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010419-245.jpg]. Каждый конечно порожденный модуль Кнад Rявляется прямой суммой циклич. модулей [img: http://localhost:8080/file/010419-246.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010419-247.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010419-248.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010419-249.jpg] - полный делитель [img: http://localhost:8080/file/010419-250.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010419-251.jpg]. Эта теорема обобщает основную теорему о конечно порожденных абелевых группах. Элементы [img: http://localhost:8080/file/010419-252.jpg] из предыдущей теоремы определены однозначно с точностью до подобия (см. Ассоциативные кольца и алгебры). Эти элементы наз. инвариантными множителями модуля К. Кроме того, модуль K можно представить в виде прямой суммы далее неразложимых цнклич. модулей [img: http://localhost:8080/file/010419-253.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010419-254.jpg] Элементы [img: http://localhost:8080/file/010419-255.jpg] определены однозначно С точностью до подобия и наз. элементарными делителями модуля К. Если область Rглавных идеалов коммутативна, то [img: http://localhost:8080/file/010419-256.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010419-257.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010419-258.jpg] - неприводимые (простые) элементы кольца R. Из предыдущих утверждений вытекают обычные свойства элементарных делителей и инвариантных множителей линейных преобразований конечномерных векторных пространств [3].