Гладкий морфизм

схем- обобщение на случай схем понятия семейства неособых алгебраических многообразий. В классич. случае морфизма комплексных алгебраич. многообразий это понятие сводится к понятию регулярного отображения (субмерсии) комплексных многообразий. Конечно представленный (локально) морфизм схем [img: http://localhost:8080/file/010420-13.jpg] наз. гладким морфизмом, если f есть плоский морфизм и если для любой точки [img: http://localhost:8080/file/010420-14.jpg] слой [img: http://localhost:8080/file/010420-15.jpg] будет гладкой схемой (над полем k(у)). Схема X наз. гладкой схемой над схемой Y, или гладкой Y-схемой, если структурный морфизм [img: http://localhost:8080/file/010420-16.jpg] является Г. м. Примером гладкой Y-схемы служит аффинное пространство [img: http://localhost:8080/file/010420-17.jpg]. Частный случай понятия Г. м. - этальный морфизм. Обратно, всякий Г. м. [img: http://localhost:8080/file/010420-18.jpg] разлагается локально по X в композицию этального морфизма [img: http://localhost:8080/file/010420-19.jpg] и проекции [img: http://localhost:8080/file/010420-20.jpg] Композиция Г. м. снова есть Г. м.; аналогично обстоит дело с произвольной заменой базы. Г. м. характеризуется своим дифференциальным свойством: плоский конечно представленный морфизм [img: http://localhost:8080/file/010420-21.jpg] будет Г. м. тогда и только тогда, когда пучок относительных дифференциалов есть локально свободный пучок ранга [img: http://localhost:8080/file/010420-22.jpg] в точке х. Понятие Г. м. аналогично понятию расслоения в смысле Серра в топологии. Напр., Г. м. комплексных алгебраич. многообразий является локально тривиальным дифференцируемым расслоением. В общем случае выполняется следующий аналог аксиомы о накрывающей гомотопии: для любой аффинной схемы Y', ее замкнутой подсхемы [img: http://localhost:8080/file/010420-23.jpg] определяемой нильпотентным идеалом, и любого морфизма [img: http://localhost:8080/file/010420-24.jpg] канонич. отображение [img: http://localhost:8080/file/010420-25.jpg] сюръективно. Если [img: http://localhost:8080/file/010420-26.jpg] есть Г. м., а локальное кольцоJY,y точки [img: http://localhost:8080/file/010420-27.jpg] является регулярным (соответственно нормальным, приведенным), то таким же будет и локальное кольцо JY,y любой точки [img: http://localhost:8080/file/010420-28.jpg]