Глобальная структура траекторий

квадратичного дифференциала - описание поведения в целом траекторий положительного квадратичного дифференциала на конечной ориентированной римановой поверхности. Пусть R - конечная ориентированная риманова поверхность, [img: http://localhost:8080/file/010420-45.jpg] - положительный квадратичный дифференциал на R; пусть С- множество всех нулей и простых полюсов [img: http://localhost:8080/file/010420-46.jpg], а Н - множество всех полюсов [img: http://localhost:8080/file/010420-47.jpg] порядка [img: http://localhost:8080/file/010420-48.jpg]. Траектории [img: http://localhost:8080/file/010420-49.jpg] образуют семейство F, обладающее многими свойствами регулярных семейств кривых. Это семейство кривых покрывает R, за исключением точек множества [img: http://localhost:8080/file/010420-50.jpg], т. е. через каждую точку из [img: http://localhost:8080/file/010420-51.jpg] проходит единственный элемент F. Поведение траекторий [img: http://localhost:8080/file/010420-52.jpg] в окрестности любой точки Rописывается локальной структурой траекторий квадратичного дифференциала. При рассмотрении глобальной структуры кривых семейства Fв точках [img: http://localhost:8080/file/010420-53.jpg] существенную роль играют следующие объединения траекторий. Пусть Ф - объединение всех траекторий [img: http://localhost:8080/file/010420-54.jpg] имеющих предельную концевую точку в нок-рой точке множества [img: http://localhost:8080/file/010420-55.jpg] - подмножество Ф, являющееся объединением всех траекторий [img: http://localhost:8080/file/010420-56.jpg], к-рые имеют одну предельную концевую точку в точке множества Си вторую предельную концевую точку в точке множества [img: http://localhost:8080/file/010420-57.jpg]. Множество Кна Rназ. F-множеством относительно [img: http://localhost:8080/file/010420-58.jpg], если каждая траектория дифференциала [img: http://localhost:8080/file/010420-59.jpg], пересекающаяся с К, полностью лежит в K. Внутреннее замыкание множества Копределяется как внутренность замыкания Ки обозначается К. Внутреннее замыкание F-множества снова является F-множеством. Концевой областью Еотносительно [img: http://localhost:8080/file/010420-60.jpg] наз. наибольшее связное открытое F-множество на R, обладающее следующими свойствами: 1) Ене содержит точек множества [img: http://localhost:8080/file/010420-61.jpg]; 2) Езаполнено траекториями дифференциала [img: http://localhost:8080/file/010420-62.jpg], каждая из к-рых имеет предельную концевую точку в каждом из двух возможных направлений в данной точке [img: http://localhost:8080/file/010420-63.jpg] Еконформно отображается функцией [img: http://localhost:8080/file/010420-64.jpg] на верхнюю или нижнюю полуплоскость плоскости [img: http://localhost:8080/file/010420-65.jpg] (в зависимости от выбора ветви корня). Из локальной структуры траекторий [img: http://localhost:8080/file/010420-66.jpg] следует, что точка Адолжна быть полюсом дифференциала [img: http://localhost:8080/file/010420-67.jpg] не ниже 3-го порядка. Полосообразной областью Sотносительно [img: http://localhost:8080/file/010420-68.jpg] наз. наибольшее связное открытое F- множество на Л, обладающее следующими свойствами: 1) 5 не содержит точек множества [img: http://localhost:8080/file/010420-69.jpg]; 2) Sзаполнено траекториями дифференциала [img: http://localhost:8080/file/010420-70.jpg], каждая из к-рых имеет в одной точке [img: http://localhost:8080/file/010420-71.jpg] предельную концевую точку в одном направлении, а в другой (возможно, совпадающей с А).точке [img: http://localhost:8080/file/010420-72.jpg] - предельную концевую точку в другом направлении; 3) Sконформно отображается функцией [img: http://localhost:8080/file/010420-73.jpg] на полосу [img: http://localhost:8080/file/010420-74.jpg] где а, b- конечные действительные числа, а<b. Точки Аи Вмогут быть полюсами [img: http://localhost:8080/file/010420-75.jpg] порядка 2 и более. Круговойобластью [img: http://localhost:8080/file/010420-76.jpg] относительно [img: http://localhost:8080/file/010420-77.jpg] наз. наибольшее связное открытое F-множество на R, обладающее следующими свойствами: 1) [img: http://localhost:8080/file/010420-78.jpg] содержит единственный двойной полюс Адифференциала [img: http://localhost:8080/file/010420-79.jpg]; 2) [img: http://localhost:8080/file/010420-80.jpg] заполнено траекториями дифференциала [img: http://localhost:8080/file/010420-81.jpg], каждая из к-рых является замкнутой жордановой кривой, отделяющей Аот границы [img: http://localhost:8080/file/010420-82.jpg]; 3) при надлежащем выборе чисто мнимой постоянной сфункция [img: http://localhost:8080/file/010420-83.jpg] дополненная значением нуль в точке А, отображает [img: http://localhost:8080/file/010420-84.jpg] конформно на круг [img: http://localhost:8080/file/010420-85.jpg], причем точка Апереходит в точку [img: http://localhost:8080/file/010420-86.jpg]. Кольцевой областью D относительно [img: http://localhost:8080/file/010420-87.jpg] наз. наибольшее связное открытое F-множество на R, обладающее следующими свойствами: 1) Dне содержит точек множества [img: http://localhost:8080/file/010420-88.jpg]; 2) Dзаполнено траекториями дифференциала [img: http://localhost:8080/file/010420-89.jpg], каждая из к-рых является замкнутой жордановой кривой; 3) при надлежащем выборе чисто мнимой постоянной сфункция [img: http://localhost:8080/file/010420-90.jpg] отображает Dконформно на круговое кольцо [img: http://localhost:8080/file/010420-91.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010420-92.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010420-93.jpg] Плотностной областью [img: http://localhost:8080/file/010420-94.jpg] относительно [img: http://localhost:8080/file/010420-95.jpg] наз. наибольшее связное открытое [img: http://localhost:8080/file/010420-96.jpg] -множество на R, обладающее свойствами: 1) [img: http://localhost:8080/file/010420-97.jpg] не содержит точек множества H; 2) [img: http://localhost:8080/file/010420-98.jpg] заполнено траекториями [img: http://localhost:8080/file/010420-99.jpg] каждая из к-рых всюду плотна в [img: http://localhost:8080/file/010420-100.jpg]. Справедлива основная структурная теорема (см. [2]). Пусть R - конечная ориентированная риманова поверхность, [img: http://localhost:8080/file/010420-101.jpg] - положительный квадратичный дифференциал на R, причем исключаются следующие возможные случаи и все конфигурации, получающиеся из них посредством конформного отображения:I. R есть z-сфера, [img: http://localhost:8080/file/010420-102.jpg] П. Rесть z- сфера, [img: http://localhost:8080/file/010420-103.jpg] К - положительное, а - действительное числа; III. Rесть тор, Q(z)dz2 регулярен на R. Тогда: 1) [img: http://localhost:8080/file/010420-104.jpg] состоит из конечного числа концевых, полосообразных, кольцевых, круговых и плотно-стных областей; 2) каждая такая область ограничена конечным числом траекторий вместе с точками, в к-рых последние встречаются; каждая граничная компонента такой области содержит точку множества С, за исключением граничных компонент круговой или кольцевой области, к-рые могут совпадать с граничными компонентами R; для полосообразной области два граничных элемента, выходящие из точек множества Н, разделяют границу на две части, на каждой из к-рых имеется точка множества С;3) каждый полюс [img: http://localhost:8080/file/010420-105.jpg] порядка [img: http://localhost:8080/file/010420-106.jpg] имеет окрестность, покрываемую внутренним замыканием объединения m-2 концевых областей и конечного числа (возможно, равного нулю) полосообразных областей; 4) каждый полюс [img: http://localhost:8080/file/010420-107.jpg] порядка т=2 имеет окрестность, покрываемую внутренним замыканием объединения конечного числа полосообразных областей, или окрестность, содержащуюся в круговой области. Из этой теоремы непосредственно следует утверждение основной структурной теоремы Дж. Дженкинса (J. Jenkins) в первоначальной формулировке (см. [1]): в условиях сформулированной теоремы множество [img: http://localhost:8080/file/010420-108.jpg] состоит из конечного числа концевых, полосообразных, круговых и кольцевых областей. Большое внимание в ряде исследований теории однолистных функций уделяется доказательству того факта, что для рассматриваемого квадратичного дифференциала [img: http://localhost:8080/file/010420-109.jpg] множество [img: http://localhost:8080/file/010420-110.jpg] пусто. Нахождение условий, обеспечивающих пустоту множества [img: http://localhost:8080/file/010420-111.jpg], представляет и самостоятельный интерес. Пример квадратичного дифференциала [img: http://localhost:8080/file/010420-112.jpg] на z-сфере, для к-рого множество [img: http://localhost:8080/file/010420-113.jpg] пусто, дает следующая теорема о трех полюсах: если R есть z-сфера, [img: http://localhost:8080/file/010420-114.jpg] - квадратичный дифференциал на Л, имеющий не более трех различных полюсов, то множество [img: http://localhost:8080/file/010420-115.jpg] пусто.