Глобально симметрическое риманово пространство

- риманово многообразие М, каждая точка рк-рого является изолированной неподвижной точкой нек-рой ннволютивной нзометрии Sp многообразия М, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010420-116.jpg] есть тождественное преобразование. Пусть G - компонента единицы группы изометрий пространства Ми К - стационарная подгруппа точки р. Тогда Мявляется однородным пространством [img: http://localhost:8080/file/010420-117.jpg], и отображение [img: http://localhost:8080/file/010420-118.jpg] есть инволютивный автоморфизм группы G, причем Ксодержится в замкнутой подгруппе [img: http://localhost:8080/file/010420-119.jpg] всех неподвижных точек автоморфизма Ф и содержит компоненту единицы группы [img: http://localhost:8080/file/010420-120.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010420-121.jpg] - вещественная алгебра Ли, [img: http://localhost:8080/file/010420-122.jpg] - ее инво-лютнвный автоморфизм и k - подалгебра в g, состоящая из всех [img: http://localhost:8080/file/010420-123.jpg] -неподвижных элементов. Рассмотрим связную подгруппу Кприсоединенной группы [img: http://localhost:8080/file/010420-124.jpg], соответствующую подалгебре k. Если группа Ккомпактна, то kназ. компактно вложенной подалгеброй алгебры [img: http://localhost:8080/file/010420-125.jpg], а пара [img: http://localhost:8080/file/010420-126.jpg] наз. ортогональной симметрической алгеброй Ли. Пусть g=k+m - разложение на собственные подпространства автоморфизма [img: http://localhost:8080/file/010420-127.jpg], отвечающие собственным значениям 1 и -1. Пара ([img: http://localhost:8080/file/010420-128.jpg]) наз.: а) алгеброй компактного типа, если gкомпактна и полупроста; б) алгеброй некомпактного типа, если g=k+m есть Картана разложение;в) алгеброй евклидова типа, если m - абелев идеал в g. Пусть ([img: http://localhost:8080/file/010420-129.jpg]) - ортогональная симметрия, алгебра Ли и g=k+m - указанное разложение. Обозначим через [img: http://localhost:8080/file/010420-130.jpg] подмножество k+im комплексной оболочки [img: http://localhost:8080/file/010420-131.jpg] алгебры g. Отображение [img: http://localhost:8080/file/010420-132.jpg] есть инволютивный автоморфизм алгебры [img: http://localhost:8080/file/010420-133.jpg] и ([img: http://localhost:8080/file/010420-134.jpg]) есть ортогональная симметрич. алгебра Ли, к-рая наз. двойственной к алгебре ([img: http://localhost:8080/file/010420-135.jpg]). Если ([img: http://localhost:8080/file/010420-136.jpg]) - алгебра компактного типа, то ([img: http://localhost:8080/file/010420-137.jpg]) - алгебра некомпактного типа, и наоборот. Каждое Г. с. р. п. [img: http://localhost:8080/file/010420-138.jpg] порождает ортогональную симметрич. алгебру Ли ([img: http://localhost:8080/file/010420-139.jpg]), где g - алгебра Ли группы G, а [img: http://localhost:8080/file/010420-140.jpg] (е - единица группы). [img: http://localhost:8080/file/010420-141.jpg] наз. пространством компактного или некомпактного типа в соответствии с типом порождаемой им пары ([img: http://localhost:8080/file/010420-142.jpg]). Каждое односвязное Г. с. р. п. Мявляется прямым произведением: [img: http://localhost:8080/file/010420-143.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010420-144.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010420-145.jpg] - евклидово пространство, [img: http://localhost:8080/file/010420-146.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010420-147.jpg] - Г. с. р. п. компактного и некомпактного типа соответственно. Для всякого пространства некомпактного типа кривизна в любом двумерном направлении неположительна, а для пространств компактного типа такая кривизна всюду неотрицательна. Любое пространство некомпактного типа диффеоморфно евклидову пространству. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010420-148.jpg] - Г. с. р. п. компактного или некомпактного типа. Рангом lпространства Мназ. максимальная размерность плоского вполне геодезич. подмногообразия в М. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010420-149.jpg] - два плоских вполне геодезич. подмногообразия пространства Мразмерности [img: http://localhost:8080/file/010420-150.jpg] и X - касательный вектор к Мв точке q. Тогда: 1) существует такой элемент [img: http://localhost:8080/file/010420-151.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010420-152.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010420-153.jpg]; 2) существует такой элемент [img: http://localhost:8080/file/010420-154.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010420-155.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010420-156.jpg] - касательный вектор к Ав точке q. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010420-157.jpg] - ортогональная симметрич. алгебра Ли, a kи т - собственные подпространства автоморфизма [img: http://localhost:8080/file/010420-158.jpg], отвечающие собственным значениям 1 и - 1. Алгебра [img: http://localhost:8080/file/010420-159.jpg] наз. неприводимой, если выполняются условия: 1) gполупроста и kне содержит ненулевых идеалов алгебры g;2) алгебра [img: http://localhost:8080/file/010420-160.jpg] неприводимым образом действует на т. Г. с. р. п. G/K наз. неприводимым, если порождаемая им ортогональная симметрич. алгебра Ли [img: http://localhost:8080/file/010420-161.jpg] неприводима. Две ортогональные симметрич. алгебры Ли [img: http://localhost:8080/file/010420-162.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010420-163.jpg] наз. изоморфными, если существует такой изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010420-164.jpg] алгебры [img: http://localhost:8080/file/010420-165.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010420-166.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010420-167.jpg]. Классификация односвязных неприводимых Г. с. р. п. с точностью до пзометрии эквивалентна классификации неприводимых ортогональных симметрич. алгебр Ли с точностью до изоморфизма. Неприводимые ортогональные симметрич. алгебры Ли компактного типа суть: I. [img: http://localhost:8080/file/010420-168.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010420-169.jpg] - компактная простая алгебра Ли и [img: http://localhost:8080/file/010420-170.jpg] - любой ее инволютивный автоморфизм; II. ([img: http://localhost:8080/file/010420-171.jpg]), где компактная алгебра gявляется прямой суммой двух простых идеалов, к-рые переставляются при помощи автоморфизма [img: http://localhost:8080/file/010420-172.jpg]. Неприводимые ортогональные симметрич. алгебры Ли некомпактного типа суть: III. ([img: http://localhost:8080/file/010420-173.jpg]), где g - простая некомпактная алгебра Ли над [img: http://localhost:8080/file/010420-174.jpg], комплексная оболочка [img: http://localhost:8080/file/010420-175.jpg] к-рой является простой алгеброй Ли над [img: http://localhost:8080/file/010420-176.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010420-177.jpg] - такой инволютивный автоморфизм алгебры [img: http://localhost:8080/file/010420-178.jpg], что его неподвижные точки составляют максимальную компактно вложенную подалгебру; IV. ([img: http://localhost:8080/file/010420-179.jpg]), где [img: http://localhost:8080/file/010420-180.jpg] - простая алгебра Ли над [img: http://localhost:8080/file/010420-181.jpg], рассматриваемая как вещественная алгебра Ли, а [img: http://localhost:8080/file/010420-182.jpg] - сопряжение алгебры gпо отношению к максимальной компактно вложенной подалгебре k, т. е. отображение [img: http://localhost:8080/file/010420-183.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010420-184.jpg] Кроме того, если обозначить через [img: http://localhost:8080/file/010420-185.jpg] алгебру, двойственную к (g,j), то (g,j) типа III и IV, если [img: http://localhost:8080/file/010420-186.jpg] типа I и II соответственно, и наоборот. С каждой неприводимой ортогональной симметрич. алгеброй некомпактного типа связано в точности одно Г. с. р. п., причем это пространство односвязно. Для компактных алгебр решение соответствующей задачи значительно сложнее. Достаточно рассмотреть типы I и II. Г. с. р. п., связанные с алгебрами типа II,- это в точности компактные связные простые группы Ли, снабженные римановой структурой, инвариантной относительно левых и правых сдвигов. Задача классификации Г. с. р. п., связанных с алгебрами типа I, с точностью до локальных изометрий равносильна задаче классификации инволютивных автоморфизмов простых компактных алгебр Ли. Глобальная классификация симметрических римановых пространств, связанных с данной ортогональной симметрич. алгеброй [img: http://localhost:8080/file/010420-187.jpg] компактного типа, решается следующей теоремой. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010420-188.jpg] - ортогональная симметрич. алгебра компактного типа, причем подалгебра k неподвижных точек автоморфизма [img: http://localhost:8080/file/010420-189.jpg] не содержит идеалов алгебры g, отличных от [img: http://localhost:8080/file/010420-190.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010420-191.jpg] - односвязная группа Ли с алгеброй Ли [img: http://localhost:8080/file/010420-192.jpg] - центр группы [img: http://localhost:8080/file/010420-193.jpg] - такой автоморфизм группы [img: http://localhost:8080/file/010420-194.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/010420-195.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010420-196.jpg] - множество всех неподвижных точек автоморфизма Ф. Для произвольной подгруппы Sгруппы [img: http://localhost:8080/file/010420-197.jpg] положим [img: http://localhost:8080/file/010420-198.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010420-199.jpg] Г. с. р. п. М, связанные с [img: http://localhost:8080/file/010420-200.jpg], совпадают с пространствами вида [img: http://localhost:8080/file/010420-201.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010420-202.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010420-203.jpg] снабженными любой G-инвариантной метрикой. Здесь Sпробегает все подгруппы группы [img: http://localhost:8080/file/010420-204.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010420-205.jpg] пробегает все такие подгруппы в [img: http://localhost:8080/file/010420-206.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010420-207.jpg]