Голоморфное отображение

отображение [img: http://localhost:8080/file/010420-290.jpg] области [img: http://localhost:8080/file/010420-291.jpg] в область [img: http://localhost:8080/file/010420-292.jpg], при к-ром [img: http://localhost:8080/file/010420-293.jpg] где все координатные функции [img: http://localhost:8080/file/010420-294.jpg] голоморфны в D. При [img: http://localhost:8080/file/010420-295.jpg] Г. о. совпадает с голоморфной функцией (см. Аналитическая функция). Г. о. f наз. невырожденным в точке [img: http://localhost:8080/file/010420-296.jpg], если ранг якобиевой матрицы [img: http://localhost:8080/file/010420-297.jpg] в точке z максимален ([img: http://localhost:8080/file/010420-298.jpg]). Г. о. наз. невырожденным в области D, если оно невырождено во всех точках [img: http://localhost:8080/file/010420-299.jpg]. При m=n невырожденность f эквивалентна условию [img: http://localhost:8080/file/010420-300.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/010420-301.jpg] невырожденное Г. о. есть конформное отображение. При [img: http://localhost:8080/file/010420-302.jpg] невырожденное Г. о., вообще говоря, не сохраняет углов между направлениями. Если Г. о. f невырождено в точке [img: http://localhost:8080/file/010420-303.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010420-304.jpg], то f локально обратимо, т. е. существуют окрестности [img: http://localhost:8080/file/010420-305.jpg] и Г. о. [img: http://localhost:8080/file/010420-306.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010420-307.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/010420-308.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010420-309.jpg]. Если Г. о. f взаимно однозначно отображает Dна f(D).и т=п, то f невырождено в D;при m>n это неверно, напр. [img: http://localhost:8080/file/010420-310.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010420-311.jpg] и f невырождено в D, то образ области D тоже является областью в С m; прп m>1 принцип сохранения области не выполняется для отображений, вырожденных в нек-рых точках, напр. [img: http://localhost:8080/file/010420-312.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010420-313.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010420-314.jpg] - комплексные многообразия, [img: http://localhost:8080/file/010420-315.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010420-316.jpg] - атласы их локальных систем координат [img: http://localhost:8080/file/010420-317.jpg] - гомеоморфизмы; см. Многообразие), то отображение [img: http://localhost:8080/file/010420-318.jpg] наз. голоморфным, если [img: http://localhost:8080/file/010420-319.jpg] есть Г. о. для всех [img: http://localhost:8080/file/010420-320.jpg]. Аналогично определяются Г. о. комплексных пространств (см. Аналитическое отображение). См. также Виголоморфное отображение.