Голоморфности область

область Dкомплексного пространства [img: http://localhost:8080/file/010420-321.jpg], для к-рой существует функция f(z), голоморфная в Dи не продолжаемая голоморфно в большую область; при этом Dназ. естественной областью определения функции f(z). Напр., естественной областью определения функции [img: http://localhost:8080/file/010420-322.jpg] служит единичный круг, к-рый поэтому является Г. о. в [img: http://localhost:8080/file/010421-1.jpg]. В [img: http://localhost:8080/file/010421-2.jpg] всякая область есть Г. о. Напротив, в [img: http://localhost:8080/file/010421-3.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010421-4.jpg], не всякая область есть Г. о. Так, никакая область вида [img: http://localhost:8080/file/010421-5.jpg], где К- компакт, содержащийся в D, не будет Г. о. Область [img: http://localhost:8080/file/010421-6.jpg] наз. голоморфно выпуклой, если для каждого множества [img: http://localhost:8080/file/010421-7.jpg] существует такое содержащее Амножество [img: http://localhost:8080/file/010421-8.jpg], что для любой точки [img: http://localhost:8080/file/010421-9.jpg] существует функция [img: http://localhost:8080/file/010421-10.jpg], голоморфная в Dи такая, что [img: http://localhost:8080/file/010421-11.jpg] Для того чтобы область Dбыла Г. о., необходимо и достаточно, чтобы она была голоморфно выпуклой (теорема Картана - Туллена). Для того чтобы область Dбыла Г. о., необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки [img: http://localhost:8080/file/010421-12.jpg] существовал барьер - функция [img: http://localhost:8080/file/010421-13.jpg], голоморфная в D и не продолжимая голоморфно в точку [img: http://localhost:8080/file/010421-14.jpg]. Напр., если D- произвольная область в [img: http://localhost:8080/file/010421-15.jpg], то функция [img: http://localhost:8080/file/010421-16.jpg] есть барьер в любой точке [img: http://localhost:8080/file/010421-17.jpg], так что Dесть Г. о.; если D - выпуклая область в С n и [img: http://localhost:8080/file/010421-18.jpg] - опорная плоскость в точке [img: http://localhost:8080/file/010421-19.jpg], то функция [img: http://localhost:8080/file/010421-20.jpg] есть барьер в [img: http://localhost:8080/file/010421-21.jpg], и поэтому всякая выпуклая область в [img: http://localhost:8080/file/010421-22.jpg] есть Г. о. Пересечение Г. о. есть Г. о.; всякое биголоморфное отображение переводит Г. о. в Г. р.; сумма возрастающей последовательности Г. о. есть Г. о. (теорема Бенке- Штейна). Область [img: http://localhost:8080/file/010421-23.jpg] наз. псевдовыпуклой, если функция- [img: http://localhost:8080/file/010421-24.jpg] есть плюрисубгармоническая. функция в D, где [img: http://localhost:8080/file/010421-25.jpg] есть расстояние от точки [img: http://localhost:8080/file/010421-26.jpg] до [img: http://localhost:8080/file/010421-27.jpg] Для того чтобы область была Г. о., необходимо и достаточно, чтобы она была псевдовыпуклой (теорема Ока). Достаточность условия в теореме Ока составляет содержание проблемы Леви, поставленной Э. Леви (Е. Levi, в 1911). Для [img: http://localhost:8080/file/010421-28.jpg] она была решена К. Ока (К. Ока, 1942); для [img: http://localhost:8080/file/010421-29.jpg] эта проблема решена независимо К. Ока, Ф. Норгэ, Г. Бремерманом (F. Norguet, H. Bremermann, 1953-1954). Г. о. с достаточно гладкой границей допускают локальное описание. Область [img: http://localhost:8080/file/010421-30.jpg] наз. псевдовыпуклой в точке [img: http://localhost:8080/file/010421-31.jpg], если существует такая окрестность Vточки [img: http://localhost:8080/file/010421-32.jpg] и такая определенная в Vдей-ствительна-я функция [img: http://localhost:8080/file/010421-33.jpg] класса [img: http://localhost:8080/file/010421-34.jpg], что: а) [img: http://localhost:8080/file/010421-35.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010421-36.jpg] и б) на плоскости [img: http://localhost:8080/file/010421-37.jpg] форма Гессе [img: http://localhost:8080/file/010421-38.jpg] Если в условии б) имеет место строгое неравенство для всех рассматриваемых векторов [img: http://localhost:8080/file/010421-39.jpg], то область Dназ. строго псевдовыпуклой в точке гД. Область Dназ. (строго) псевдовыпуклой всмысле Леви, если она (строго) псевдовыпукла в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/010421-40.jpg]. Если область строго псевдовыпукла в смысле Леви, то она псевдовыпукла (теорема Леви). Г. о. функции [img: http://localhost:8080/file/010421-41.jpg], заданной в первоначальной окрестности [img: http://localhost:8080/file/010421-42.jpg], может быть построена при помощи разложений в ряды Тейлора с использованием принципа голоморфного продолжения; при этом может оказаться, что в построенной области голоморфно продолженная функция [img: http://localhost:8080/file/010421-43.jpg] неоднозначна. Чтобы сделать функцию однозначной, необходимо расширить понятие области. Это достигается путем введения римановых областей (наложения областей, неоднолистных областей) над [img: http://localhost:8080/file/010421-44.jpg] (римановы области над [img: http://localhost:8080/file/010421-45.jpg] наз. римановыми поверхностями). Понятие Г. о. распространяется и на римановы области и даже на объекты более общей структуры - комплексные многообразия и комплексные пространства. Обобщение понятия Г. о. приводит к Штейна пространствам.