Гомологии динамической системы

когомологии динамической системы,- один из инвариантов в эргодической теории, построение к-рого напоминает построение когомологии группы (см. [1]). В простейшем случае одномерных (ко)гомологий [img: http://localhost:8080/file/010422-1.jpg] каскада, получающегося итерированием автоморфизма Тпространства с мерой X, определение эквивалентно следующему. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010422-2.jpg] - группа по сложению всех измеримых функций на X(соответственно группа по умножению измеримых функций f, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/010422-3.jpg] почти всюду). Аддитивной (соответственно мультипликативной) (ко) границей функции [img: http://localhost:8080/file/010422-4.jpg] наз. функция [img: http://localhost:8080/file/010422-5.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010422-6.jpg] (соответственно [img: http://localhost:8080/file/010422-7.jpg]). Обозначая совокупность всех (ко)границ через [img: http://localhost:8080/file/010422-8.jpg], можно определить аддитивную (соответственно мультипликативную) группу (ко)гомологий [img: http://localhost:8080/file/010422-9.jpg] как факторгруппу [img: http://localhost:8080/file/010422-10.jpg]. Вместо всех измеримых функций могут рассматриваться и более узкие классы функций. Г. д. с. являются инвариантами траекторного изоморфизма (подробности для [img: http://localhost:8080/file/010422-11.jpg] см. в [2]). Пока (к 1977) Г. д. с. не вычислены ни в одном нетривиальном примере. Использование "гомологических" понятий в эргодич. теории определяется тем, что в различных конкретных случаях бывает важно знать (и иногда действительно удается выяснить), является ли та или иная определенная функция кограницей.