Гомологии теория

топологических пространств - часть алгебраич. топологии, осуществляющая связь между топологич. н алгебраич. понятиями: приводя в соответствие каждому пространству определенную последовательность групп, а непрерывному отображению пространств - гомоморфизмы соответствующих групп, Г. т. по свойствам групп и их гомоморфизмов позволяет судить о свойствах пространств и отображений. К таким свойствам относятся, напр., связности различных размерностей, для исследования к-рых Г. т. опирается на понятие ограничивают, в отличие от другой части алгебраич. топологии - теории гомотопии, к-рая для той же цели применяет деформации. Г. т. зародилась в конце 19 в. в трудах А. Пуанкаре (Н. Poincare) (см. Гомологии полиэдра), но аксиоматич. построение (а вместе с ним и точные границы этого долгое время расплывчатого понятия) Г. т. получила лишь в работах Н. Стинрода и С. Эйленберга (см. [3], а также Алгебраическая топология, Гомологии группа, Стинрода- Эйленберга аксиомы). По этому построению теория гомологии [img: http://localhost:8080/file/010422-74.jpg] есть совокупность трех функций: 1) относительной r-мерной группы гомологии [img: http://localhost:8080/file/010422-75.jpg] пары топологич. пространств [img: http://localhost:8080/file/010422-76.jpg] к-рая каждой паре [img: http://localhost:8080/file/010422-77.jpg] и каждому целому числу r ставит в соответствие абелеву группу [img: http://localhost:8080/file/010422-78.jpg]; 2) гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/010422-79.jpg] к-рый ставится в соответствие непрерывному отображению [img: http://localhost:8080/file/010422-80.jpg] и числу rи yаз. гомоморфизмом, индуцированным отображением f; 3) граничного оператора [img: http://localhost:8080/file/010422-81.jpg], к-рый каждой паре [img: http://localhost:8080/file/010422-82.jpg] и каждому rставит в соответствие гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010422-83.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/010422-84.jpg] в группу [img: http://localhost:8080/file/010422-85.jpg] (так наз. абсолютную группу пространства А, являющуюся группой пары [img: http://localhost:8080/file/010422-86.jpg]). При этом указанные функции должны удовлетворять следующим аксиомам. [img: http://localhost:8080/file/010422-87.jpg] наз. гомологической последовательностью, пары [img: http://localhost:8080/file/010422-88.jpg], является точной последовательностью, т. е. везде образ входящего гомоморфизма совпадает с ядром исходящего. 5. Аксиома гомотопии. Если отображения [img: http://localhost:8080/file/010422-89.jpg] гомотопны, то [img: http://localhost:8080/file/010422-90.jpg]. 6. Аксиома вырезания. Если U - открытое подмножество пространства Xи его замыкание содержится во внутренности подпространства А, то отображение вложения [img: http://localhost:8080/file/010422-91.jpg] индуцирует изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010422-92.jpg]. 7. Аксиома размерности. Если X- одноточечное пространство, то [img: http://localhost:8080/file/010422-93.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010422-94.jpg]. Вместо категории всех пар пространств за область определения функции Hr можно взять произвольную категорию пар пространств, напр, категорию пар компактных пространств пли категорию пар, состоящих из полиэдров и их подполиэдров. Однако требуется, чтобы такая категория вместе с [img: http://localhost:8080/file/010422-95.jpg] содержала пары [img: http://localhost:8080/file/010422-96.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010422-97.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010422-98.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010422-99.jpg], цилиндр [img: http://localhost:8080/file/010422-100.jpg] и какое-либо одноточечное пространство Р 0, со всеми их отображениями вложения. Кроме того, требуется, чтобы категория содержала все пары и отображения, к-рые встречаются в аксиомах или теоремах. С другой стороны, за область значений функции [img: http://localhost:8080/file/010422-101.jpg] вместо категории всех абелевых групп можно принимать и другие категории, напр, категорию топологических, в частности, компактных групп с непрерывными гомоморфизмами или категорию модулей над нек-рым кольцом с линейными гомоморфизмами. Аксиомы 1 и 2 означают, что [img: http://localhost:8080/file/010422-102.jpg] есть ковариантный функтор из нек-рой категории пар пространств в категорию групп. Аксиома 3 означает, что граничный оператор [img: http://localhost:8080/file/010422-103.jpg] согласован с функтором [img: http://localhost:8080/file/010422-104.jpg]. Аксиома 4, связывающая функторы всех размерностей r, иногда заменяется более слабым требованием: чтобы последовательность была лишь полуточной, т. е. образ входил в ядро (см. Точная последовательность);важным примером частично полуточной теории гомологии является теория гомологии Александрова - Чеха. Аксиома 5 имеет эквивалентную форму: если [img: http://localhost:8080/file/010422-105.jpg] - отображения, определяемые формулами [img: http://localhost:8080/file/010422-106.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010422-107.jpg] Аксиома 6, требующая инвариантность при вырезании и имеющая несколько разновидностей, указывает то свойство Г. т., к-рое отличает ее от теории гомотошш. Аксиома 7, обеспечивающая гео-метрич. значимость размерностного индекса r, в современных исследованиях часто пренебрегается, что порождает так наз. обобщенные теории гомологии, важным примером к-рых служит теория бордизмов. Для Г. т. существует двойственная ей теория когомологии (см. Двойственность в топологии). Она задается: относительной r-мерной группой когомологии [img: http://localhost:8080/file/010422-108.jpg] являющейся контравариантным функтором из категории пар топологич. пространств в категорию абелевых групп с индуцированным гомоморфизмом [img: http://localhost:8080/file/010422-109.jpg] и кограничным оператором [img: http://localhost:8080/file/010422-110.jpg] Аксиомы формулируются так же, как и в случае гомологии, с очевидным изменением в направлении гомоморфизмов, происходящим от контравариантности; напр., аксиома точности требует, чтобы была точной когомологическая последовательность [img: http://localhost:8080/file/010422-111.jpg] Здесь возникают также обобщенные когомологич. теории, важными примерами к-рых служат К-теории и кобордизмы. Приводимые ниже факты Г. т. имеют когомологич. параллели. Группой коэффициентов Г. т. или теории когомологии наз. группа [img: http://localhost:8080/file/010422-112.jpg] или соответственно [img: http://localhost:8080/file/010422-113.jpg]. Группы [img: http://localhost:8080/file/010422-114.jpg] иногда удобно заменять так наз. приведенными группами [img: http://localhost:8080/file/010422-115.jpg]: приведенная нульмерная группа гомологии [img: http://localhost:8080/file/010422-116.jpg] есть ядро гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/010422-117.jpg] индуцированного отображением [img: http://localhost:8080/file/010422-118.jpg], а приведенная нульмерная группа когомологии [img: http://localhost:8080/file/010422-119.jpg] есть факторгруппа группы [img: http://localhost:8080/file/010422-120.jpg] по образу [img: http://localhost:8080/file/010422-121.jpg]; приведенные группы других размерностей совпадают с исходными: [img: http://localhost:8080/file/010422-122.jpg] Так, [img: http://localhost:8080/file/010422-123.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010422-124.jpg] при всех r. Замена обычных групп приведенными позволяет получить из гомологич. последовательности приведенную гомологическую последовательность. Аксиомы Г. т. не являются независимыми. Так, аксиома 1 есть следствие аксиом 2, 3, 4. Система аксиом совместна, как показывает пример тривиальной теории [img: http://localhost:8080/file/010422-125.jpg]; вложения нетривиальными примерами являются когомологич. теория Александрова - Чеха, сингулярные гомологии и др. В вопросе полноты имеет место следующее: гомоморфизмом Г. т. [img: http://localhost:8080/file/010422-126.jpg] в Г. т. [img: http://localhost:8080/file/010422-127.jpg] наз. такая система гомоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/010422-128.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010422-129.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010422-130.jpg] если все [img: http://localhost:8080/file/010422-131.jpg] - изоморфизмы, то Г. т. [img: http://localhost:8080/file/010422-132.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010422-133.jpg] наз. изоморфными Г. т. На конечных полиэдрах Г. т. является единственной. Точнее, если [img: http://localhost:8080/file/010422-134.jpg] - произвольный гомоморфизм группы коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/010422-135.jpg] теории [img: http://localhost:8080/file/010422-136.jpg] в группу коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/010422-137.jpg] теории [img: http://localhost:8080/file/010422-138.jpg], то для каждой полиэдральной пары [img: http://localhost:8080/file/010422-139.jpg] существует единственный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010422-140.jpg] обладающий тем свойством, что [img: http://localhost:8080/file/010422-141.jpg] причем, если [img: http://localhost:8080/file/010422-142.jpg] - изоморфизм, то изоморфизмами являются и все [img: http://localhost:8080/file/010422-143.jpg]. Так как группы гомологии отрицательной размерности триангулируемой пары тривиальны, то для таких пар равенство [img: http://localhost:8080/file/010422-144.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010422-145.jpg], имеет место и при любой Г. т. [img: http://localhost:8080/file/010422-146.jpg]. Теорема единственности справедлива и для более широких категорий пространств в случае, когда Г. т. удовлетворяет соответствующим дополнительным аксиомам. Группы гомологип являются топологическими, а также гомотопич. инвариантами: если [img: http://localhost:8080/file/010422-147.jpg] есть гомотопич. эквивалентность, то [img: http://localhost:8080/file/010422-148.jpg] есть изоморфизм. Если X- стягиваемое пространство, в частности, клетка, то [img: http://localhost:8080/file/010422-149.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010422-150.jpg] есть гомотопич. эквивалентность, то [img: http://localhost:8080/file/010422-151.jpg] и, при любом [img: http://localhost:8080/file/010422-152.jpg] Если А - ретракт пространства X, то [img: http://localhost:8080/file/010422-153.jpg] есть мономорфизм, [img: http://localhost:8080/file/010422-154.jpg] - эпиморфизм, оператор [img: http://localhost:8080/file/010422-155.jpg] тривиален и [img: http://localhost:8080/file/010422-156.jpg] Если Xдеформируемо в А, то [img: http://localhost:8080/file/010422-157.jpg] есть эпиморфизм, [img: http://localhost:8080/file/010422-158.jpg] тривиален, [img: http://localhost:8080/file/010422-159.jpg] есть мономорфизм и [img: http://localhost:8080/file/010422-160.jpg] Пусть через S(X).обозначена надстройка над X;имеет место изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010422-161.jpg] Это дает возможность вычислить группы гомологии сфер [img: http://localhost:8080/file/010422-162.jpg]; именно: [img: http://localhost:8080/file/010422-163.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010422-164.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010422-165.jpg] следовательно, [img: http://localhost:8080/file/010422-166.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010422-167.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010422-168.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010422-169.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010422-170.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010422-171.jpg] Важную роль в Г. т. играют гомологические последовательности троек и триад. Для тройки [img: http://localhost:8080/file/010422-172.jpg] пространств граничный оператор [img: http://localhost:8080/file/010422-173.jpg] определяется как композиция [img: http://localhost:8080/file/010422-174.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010422-175.jpg] есть вложение. Тогда возникает так наз. гомологическая последовательность тройки [img: http://localhost:8080/file/010422-176.jpg] (сводящаяся при [img: http://localhost:8080/file/010422-177.jpg] к гомологич. последовательности пары (X, А). [img: http://localhost:8080/file/010422-178.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010422-179.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010422-180.jpg] - вложения. Эта последовательность точна. Если группы [img: http://localhost:8080/file/010422-181.jpg] тривиальны для всех [img: http://localhost:8080/file/010422-182.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010422-183.jpg] являются соответственно изоморфизмами, и наоборот. Если Xесть объединение непересекающихся замкнутых множеств [img: http://localhost:8080/file/010422-184.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010422-185.jpg] изоморфна прямой сумме групп [img: http://localhost:8080/file/010422-186.jpg] Триада [img: http://localhost:8080/file/010422-187.jpg] есть пространство Xс упорядоченной парой А, В подпространств. Она является собственной триадой, если вложения [img: http://localhost:8080/file/010422-188.jpg] индуцируют изоморфизмы или имеется разложение [img: http://localhost:8080/file/010422-189.jpg] Далее, для [img: http://localhost:8080/file/010422-190.jpg] них определяется граничный оператор как [img: http://localhost:8080/file/010422-191.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010422-192.jpg] Это порождает точную гомологическую последовательность триады [img: http://localhost:8080/file/010422-193.jpg] вложения [при [img: http://localhost:8080/file/010422-194.jpg] эта последовательность сводится к гомологич. последовательности тройки [img: http://localhost:8080/file/010422-195.jpg] ]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010422-196.jpg] и пусть для отображений [img: http://localhost:8080/file/010422-197.jpg] имеют место соотношения [img: http://localhost:8080/file/010422-198.jpg] Тогда справедливы [img: http://localhost:8080/file/010422-199.jpg] следующие аддиционные теоремы. 2. Если Dстягиваемо и [img: http://localhost:8080/file/010422-200.jpg] определены соответственно посредством [img: http://localhost:8080/file/010422-201.jpg] то для индуцированных гомоморфизмов приведенных групп [img: http://localhost:8080/file/010422-202.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010422-203.jpg] имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/010422-204.jpg] Пусть определен гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010422-205.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010422-206.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010422-207.jpg] и где [img: http://localhost:8080/file/010422-208.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010422-209.jpg] - вложения, и гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010422-210.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010422-211.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010422-212.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010422-213.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010422-214.jpg] - вложения. Пусть, наконец, определен гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010422-215.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010422-216.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010422-217.jpg] - вложения. Тогда получается так наз. последовательность Мейера- Вьеториса собственной триады: [img: http://localhost:8080/file/010422-218.jpg] к-рая является точной и к-рая связывает гомологии пространств с гомологиями их объединения и пересечения. Отсюда, в случае [img: http://localhost:8080/file/010422-219.jpg], можно перейти к аналогичной последовательности для приведенных групп. Из нее следует: 1. Если [img: http://localhost:8080/file/010422-220.jpg] стягиваемо, то [img: http://localhost:8080/file/010422-221.jpg] 2. Если [img: http://localhost:8080/file/010422-222.jpg] стягиваемо, то [img: http://localhost:8080/file/010422-223.jpg] 3. Если Л и В стягиваемы, то Л устанавливает изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010422-224.jpg] Использование предыдущих результатов позволяет вычислить группы гомологии различных пространств. Напр., если X - замкнутая ориентируемая поверхность рода п, то [img: http://localhost:8080/file/010422-225.jpg] изоморфна группе коэффициентов Gпри r=0,2, прямой сумме [img: http://localhost:8080/file/010422-226.jpg] экземпляров группы Gпри r=1 и 0-в остальных случаях. Если X - замкнутая неорпентнруемая поверхность рода п, то [img: http://localhost:8080/file/010422-227.jpg] изоморфна Gпри r=0, группе [img: http://localhost:8080/file/010422-228.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010422-229.jpg] есть факторгруппа [img: http://localhost:8080/file/010422-230.jpg], при r=1, подгруппе [img: http://localhost:8080/file/010422-231.jpg] группы G, состоящей из всех элементов [img: http://localhost:8080/file/010422-232.jpg] с 2g=0 при r=2 и 0-в остальных случаях. Таким образом, Г. т. дает топологич. классификацию замкнутых поверхностей. Для n-мерного действительного проективного пространства [img: http://localhost:8080/file/010422-233.jpg] группа [img: http://localhost:8080/file/010422-234.jpg] изоморфна группе Gпри r=0 или r=п и нечетном, группе [img: http://localhost:8080/file/010422-235.jpg] при rнечетном и [img: http://localhost:8080/file/010422-236.jpg], группе [img: http://localhost:8080/file/010422-237.jpg] при rчетном и [img: http://localhost:8080/file/010422-238.jpg] и 0 - в остальных случаях. Группа гомологии [img: http://localhost:8080/file/010422-239.jpg] комплексного проективного пространства [img: http://localhost:8080/file/010422-240.jpg] размерности 2п изоморфна группе G при r четном и [img: http://localhost:8080/file/010422-241.jpg] и 0 - в остальных случаях. Гомологич. группа [img: http://localhost:8080/file/010422-242.jpg] линзового пространства [img: http://localhost:8080/file/010422-243.jpg]. изоморфна группе Gпри r=0,3, группе [img: http://localhost:8080/file/010422-244.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010422-245.jpg] при r=1, группе, где [img: http://localhost:8080/file/010422-246.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/010422-247.jpg] при r=2 и 0- в остальных [img: http://localhost:8080/file/010422-248.jpg] случаях. Из разнообразных приложений предыдущих результатов следует выделить нек-рые фундаментальные предложения. Прежде всего - инвариантность размерности: сферы, а также евклидовы пространства различных размерностей не гомеоморфны; более того, если два полиэдра гомеоморфны, то они имеют одинаковую размерность. Далее, из равенства [img: http://localhost:8080/file/010422-249.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010422-250.jpg] есть распространение данного отображения [img: http://localhost:8080/file/010422-251.jpg] получаются различные признаки распространяемости и ретрагируемости отображений; напр., отображение ненулевой степени сферы [img: http://localhost:8080/file/010422-252.jpg] в себя не распро-странимо на re-мерный шар [img: http://localhost:8080/file/010422-253.jpg] границей к-рого является [img: http://localhost:8080/file/010422-254.jpg], а сфера [img: http://localhost:8080/file/010422-255.jpg] не является ретрактом шара [img: http://localhost:8080/file/010422-256.jpg] ни для какого натурального га. Из этого, в свою очередь, следует теорема Брауэра о неподвижной точке: любое отображение [img: http://localhost:8080/file/010422-257.jpg] имеет неподвижную точку. Наконец, доказывается, что на Sn существует единичное касательное векторное поле тогда п только тогда, когда пнечетно, а из теории триад получается ряд теорем о степенях отображений, что, в частности, позволяет по-новому доказать основную теорему алгебры.