Гомологическая алгебра

раздел алгебры, основным объектом изучения к-рого являются производные функторы на различных категориях алгебраич. объектов (модулей над данным кольцом, пучков и т. д.). Одним из истоков Г. а. явилась теория гомологии топологич. пространств, в к-рой каждому топологич. пространству X сопоставляется последовательность абеле-вых групп [img: http://localhost:8080/file/010422-258.jpg] (групп гомологии), а непрерывному отображению [img: http://localhost:8080/file/010422-259.jpg] пространств - набор гомоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/010422-260.jpg] групп гомологии. Каждый га-мерный сингулярный симплекс Ттопологич. пространства Xимеет границу, состоящую из сингулярных симплексов размерности п-1. Если [img: http://localhost:8080/file/010422-261.jpg] - свободная абелева группа, порожденная всеми этими n-мерными симплексами, то функция [img: http://localhost:8080/file/010422-262.jpg], к-рая сопоставляет каждому Тальтернированную сумму [img: http://localhost:8080/file/010422-263.jpg] его граничных симплексов, определяет гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010422-264.jpg] так что [img: http://localhost:8080/file/010422-265.jpg] причем непрерывное отображение пространств индуцирует гомоморфизм соответствующих им комплексов. Некоторые свойства пространства Xили отображения [img: http://localhost:8080/file/010422-266.jpg] могут быть найдены по свойствам группы [img: http://localhost:8080/file/010422-267.jpg] гомологии этого комплекса или соответствующих гомоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/010422-268.jpg] этих групп гомологии, что в ряде случаев позволяет свести изучение топологич. объектов к изучению нек-рых алгебраич. объектов, подобно тому, как это делается в аналитич. еометрии (но с той разницей, что переход от геометрии к алгебре в теории гомологии необратим). В свою очередь, в алгебре в связи с изучением расширений групп фактически рассматривались первая и вторая группы гомологии и когомологий. Значительный подготовительный материал был разработан в теории ассоциативных алгебр, алгебр Ли, теории конечномерных алгебр, теории колец, теории квадратичных форм. В процессе изучения групп гомологии сложился прежде всего язык Г. а. Появились обозначения отображений с помощью стрелок и коммутативные диаграммы (если в графе отображений два пути, имеющие общие начало и конец, приводят к одному и тому же результату, то такую диаграмму наз. коммутативной). Часто встречались последовательности гомоморфизмов, в к-рых ядро исходящего гомоморфизма совпадало с образом входящего, такие последовательности назвали точными. Стало обычаем задавать математич. объекты одновременно с их отображениями, а наиболее предпочтительными считались соответствия между объектами, сохраняющие отображения, названные функторами. Основные достоинства этого языка - информативность, естественность и наглядность, быстро получили признание. Напр., в [5] язык Г. а. был использован для аксиоматич. изложения оснований алгебраич. топологии. В настоящее время язык Г. а. присутствует во многих работах, даже не использующих ее методов. К середине 40-х гг. 20 в. Г. а. выделяется в самостоятельную область алгебры. Основная сфера применения Г. а.- категория модулей над кольцом. Большинство результатов, известных для модулей, переносится на абелевы категории с нек-рыми дополнительными ограничениями (это объясняется тем, что такие категории вкладываются в категорию модулей). Наиболее содержательное расширение области применения Г. а. было осуществлено в [4], где Г. а. была перенесена на произвольные абелевы категории с достаточным запасом инъективных объектов и стала приложимой к арифметической алгебраич. геометрии и теории функций многих переменных (см. Гротендика категория). Основные функторы Г. а.- Ноm (A, В).(группа гомоморфизмов модуля Ав модуль В).и тензорное произведение модулей [img: http://localhost:8080/file/010422-269.jpg]. Основа теории - изучение производных функторов, к-рые строятся, напр., следующим образом. Произвольный модуль Аможет быть представлен как фактормодуль свободного модуля F0, затем рассматривается такое же представление F1 для ядра предыдущего представления и т. д. В результате возникает точная последовательность [img: http://localhost:8080/file/010422-270.jpg] Последовательность [img: http://localhost:8080/file/010422-271.jpg] где все модули [img: http://localhost:8080/file/010422-272.jpg] - проективны, наз. проективной резольвентой модуля А. Применение к ней ковариантного аддитивного функтора Тдает комплекс, группы гомологии к-рого наз. левыми производными функтора Тн обозначаются [img: http://localhost:8080/file/010422-273.jpg]. Двойственно (для контравариантного функтора) или, используя инъективные модули и инъективные резольвенты (для ковариантного функтора), строятся правые производные функторы [img: http://localhost:8080/file/010422-274.jpg]. Производные функторы измеряют в нек-ром смысле отклонение функтора от точности. Они не зависят от произвола построения резольвенты. Каждой точной последовательности [img: http://localhost:8080/file/010422-275.jpg] соответствуют две бесконечные точные последовательности производных функторов: [img: http://localhost:8080/file/010423-1.jpg] Для производных функторов основных функторов приняты следующие обозначения: [img: http://localhost:8080/file/010423-2.jpg] Оба эти функтора являются функторами двух аргументов Аи В, поэтому изложенная конструкция построения производного функтора к ним непосредственно неприменима. В данном случае можно фиксировать один из аргументов и строить резольвенту для другого или, взяв резольвенты для обоих аргументов, можно построить нек-рый двойной комплекс. Все эти построения приводят к одному и тому же результату. Группа [img: http://localhost:8080/file/010423-3.jpg] изоморфна группе расширений модуля Вс помощью модуля А(и в этом виде давно изучалась). Установление новых связей значительно расширило и продвинуло теорию расширений модулей. Группа [img: http://localhost:8080/file/010423-4.jpg] сопоставляет каждой группе Аее периодич. часть. Обобщение этого наблюдения привело к общей теории кручения. В общую схему производных функторов укладывается теория гомологии алгебраич. систем. Напр., пусть [img: http://localhost:8080/file/010423-5.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010423-6.jpg] - групповое кольцо мультипликативной группы Gнад кольцом [img: http://localhost:8080/file/010423-7.jpg] целых чисел, А - левый, а В - правый [img: http://localhost:8080/file/010423-8.jpg] -модули. Изучение групп [img: http://localhost:8080/file/010423-9.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010423-10.jpg] рассматривается как тривиальный левый [img: http://localhost:8080/file/010423-11.jpg] -модуль, составляет теорию гомологии и когомологий групп. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010423-12.jpg] - алгебра Ли над полем [img: http://localhost:8080/file/010423-13.jpg] - ее универсальная обертывающая алгебра, Аесть [img: http://localhost:8080/file/010423-14.jpg] -модуль. Изучение групп [img: http://localhost:8080/file/010423-15.jpg] где kрассматривается как тривиальный [img: http://localhost:8080/file/010423-16.jpg] -модуль, составляет теорию когомологий алгебр Ли. Аналогично определяются подходящие группы когомологий и гомологии моноидов, абелевых групп, алгебр, градуированных алгебр, колец и т. д. Руководящей идеей в каждом случае служит то, что вторая группа когомологий представляет группу расширений для рассматриваемого типа алгебраич. систем. В свою очередь, гомологии алгебраич. систем являются предметом изучения относительной гомологической алгебры. В конкретных случаях вычисление производных функторов обычно достигается с помощью удачно построенной резольвенты. Иногда резольвента оказывается конечной (напр., длина резольвенты произвольной абе-левой группы не превосходит 1). Существует давний и вполне оправданный интерес к длине самой короткой резольвенты (эта длина наз. гомологической размерностью). Первый значительный результат в этом направлении - Гильберта теорема о сизигиях (конец 19 в.). Теория гомологич. размерности - одна из активно развивающихся ветвей Г. а. Переход от модулей с различными ограничениями конечности к общему случаю часто осуществляется с помощью функторов индуктивных пределов [img: http://localhost:8080/file/010423-17.jpg] и проективных пределов [img: http://localhost:8080/file/010423-18.jpg]. Напр., всякая группа является индуктивным пределом своих конечно порожденных подгрупп. Всякая компактная вполне несвязная группа представима в виде проективного предела своих конечных факторгрупп. Интерес к этим группам вызван их связями с теорией Галуа. Производные этих функторов применяются в теории гомологич. размерности. Изучаются производные функторы для неаддитивных функторов (напр., функтора, сопоставляющего абелевой группе ее групповое кольцо или симметрическую алгебру). К основным средствам вычисления Г. а., кроме уже отмеченных резольвент, следует отнести спектральные последовательности и гомологические умножения. Спектральные последовательности, являясь наиболей мощным аппаратом исследования производных функторов, аппроксимируют группы гомологии группы группами гомологии ее подгруппы и факторгруппы. Гомологич. умножения изучают гомоморфизмы типа [img: http://localhost:8080/file/010423-19.jpg] комбинирующие между собой производные функторы. Методы Г. а. широко используются в настоящее время в самых различных разделах математики - в функциональном анализе, теории функций комплексного переменного, дифференциальных уравнениях и др. Без Г. а. немыслимы такие разделы алгебры, как алгебраич. К- теория, алгебраич. геометрия, алгебраич. теория чисел.