Гомологическое опоясывание

метод, позволяющий характеризовать размерность компакта, лежащего в евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/010423-193.jpg], в терминах метрич. свойств дополнительного пространства. Назовем мерой существенности цикла z компакта [img: http://localhost:8080/file/010423-194.jpg] верхнюю грань тех [img: http://localhost:8080/file/010423-195.jpg], для к-рых можно подобрать такой компактный носитель [img: http://localhost:8080/file/010423-196.jpg] цикла z, что цикл не гомологичен нулю в [img: http://localhost:8080/file/010423-197.jpg]. Назовем р-мерным гомологическим поперечником [img: http://localhost:8080/file/010423-198.jpg] цикла zоткрытого множества [img: http://localhost:8080/file/010423-199.jpg] нижнюю грань р-мерных поперечников тел всех циклов, гомологичных в Г циклу z. Здесь под р-м ерным поперечником [img: http://localhost:8080/file/010423-200.jpg] компакта [img: http://localhost:8080/file/010423-201.jpg] понимается нижняя грань тех [img: http://localhost:8080/file/010423-202.jpg], для к-рых существует непрерывный [img: http://localhost:8080/file/010423-203.jpg] -сдвиг компакта. Xв р-мерный компакт (и потому полиэдр). Всякий (п-1)-мерный цикл открытого множества [img: http://localhost:8080/file/010423-204.jpg], зацепленный с каждой точкой компакта Ф, наз. мешком вокруг компакта Ф. Теорема о мешках. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010423-205.jpg] Тогда существует такое [img: http://localhost:8080/file/010423-206.jpg], что всякий мешок вокруг компакта Ф имеет (r-1)-мерный гомологич. поперечник, больший [img: http://localhost:8080/file/010423-207.jpg], тогда как r-мерный гомологич. поперечник любого цикла в Г равен нулю. При этом всегда имеются мешки вокруг Ф со сколь угодно малой мерой существенности. Если же [img: http://localhost:8080/file/010423-208.jpg], то существует такое [img: http://localhost:8080/file/010423-209.jpg], что для всякого мешка [img: http://localhost:8080/file/010423-210.jpg] вокруг Ф выполняется [img: http://localhost:8080/file/010423-211.jpg] (при этом [img: http://localhost:8080/file/010423-212.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010423-213.jpg] для всех мешков [img: http://localhost:8080/file/010423-214.jpg]). Теорема о мешках может быть еще более усилена с помощью понятия пояса вокруг компакта. Теорема о поясах. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010423-215.jpg] - компакт размерности r. Существует такое [img: http://localhost:8080/file/010423-216.jpg] что для любого [img: http://localhost:8080/file/010423-217.jpg] и любого [img: http://localhost:8080/file/010423-218.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010423-219.jpg] имеется [img: http://localhost:8080/file/010423-220.jpg] -мерный цикл v(пояс размерности п - k вокруг Ф), при k>l ограничивающий в Г, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/010423-221.jpg] и, кроме того, для всякого цикла w, гомологичного циклу [img: http://localhost:8080/file/010423-222.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010423-223.jpg] -окрестности последнего относительно Г имеет место [img: http://localhost:8080/file/010423-224.jpg]; для всякой цепи х, ограниченной циклом [img: http://localhost:8080/file/010423-225.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010423-226.jpg], имеет место [img: http://localhost:8080/file/010423-227.jpg] С другой стороны, если [img: http://localhost:8080/file/010423-228.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010423-229.jpg] то при любом [img: http://localhost:8080/file/010423-230.jpg] всякий [img: http://localhost:8080/file/010423-231.jpg] -мерный цикл z в Г, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/010423-232.jpg], гомологичен в своей [img: http://localhost:8080/file/010423-233.jpg] -окрестности (относительно Г) нек-рому циклу [img: http://localhost:8080/file/010423-234.jpg] со сколь угодно малым [img: http://localhost:8080/file/010423-235.jpg]. Далее, если [img: http://localhost:8080/file/010423-236.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010423-237.jpg] то при произвольном [img: http://localhost:8080/file/010423-238.jpg] всякий [img: http://localhost:8080/file/010423-239.jpg] -мерный цикл z, ограничивающий в Г, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/010423-240.jpg] (и [img: http://localhost:8080/file/010423-241.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010423-242.jpg] -1), ограничивает в Г цепь хс [img: http://localhost:8080/file/010423-243.jpg]. Здесь через [img: http://localhost:8080/file/010423-244.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010423-245.jpg], обозначена нижняя грань тех [img: http://localhost:8080/file/010423-246.jpg], для к-рых существует [img: http://localhost:8080/file/010423-247.jpg] -сдвиг вершин цепи х, посредством к-рого цепь хвырождается до размерности р;через ix обозначена нижняя грань тех [img: http://localhost:8080/file/010423-248.jpg], для к-рых существует [img: http://localhost:8080/file/010423-249.jpg] -сдвиг вершин х, переводящий хв нулевую цепь.