Горенштейна кольцо

коммутативное нётерово локальное кольцо, имеющее конечную инъективную размерность (см. Гомологическая размерность). Кольцо Ас максимальным идеалом m и полем вычетов kразмерности пявляется Г. к. тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих эквивалентных условий: 1) [img: http://localhost:8080/file/010425-251.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/010425-252.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010425-253.jpg] 2) Для любой максимальной А-последовательности [img: http://localhost:8080/file/010425-254.jpg] (см. Глубина модуля,).идеал [img: http://localhost:8080/file/010425-255.jpg] неприводим. 3) Функтор [img: http://localhost:8080/file/010425-256.jpg] определенный на категории A-модулей конечной длины, изоморфен функтору [img: http://localhost:8080/file/010425-257.jpg] где I - инъективная оболочка поля k. 4) Кольцо Аявляется Коэна - Маколея кольцом (в частности, все локальные когомологий [img: http://localhost:8080/file/010425-258.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/010425-259.jpg]) и [img: http://localhost:8080/file/010425-260.jpg] совпадает с инъективной оболочкой поля [img: http://localhost:8080/file/010425-261.jpg]. 5) Для любого A-модуля Мконечного типа существует канонич. изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010425-262.jpg] (локальная двойственность). Примерами Г. к. являются регулярные кольца, а также их факторкольца по идеалу, порожденному регулярной последовательностью элементов (полные пересечения). В случае, когда Г. к. А - одномерная область целостности, Г. к. допускают следующую численную характе-ризацию. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010425-263.jpg] - целое замыкание Ав поле частных, [img: http://localhost:8080/file/010425-264.jpg] - кондуктор [img: http://localhost:8080/file/010425-265.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/010425-266.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010425-267.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010425-268.jpg] Тогда кольцо Аесть Г. к. тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010425-269.jpg]. Это равенство впервые доказано для локального кольца неприводимой плоской алгебраической кривой Д. Горенштейном [1]. Локализация Г. к. является Г. к. В связи с этим возникло расширение понятия Г. к.: нётерово кольцо (или схема) наз. кольцом (с х е-мой) Горенштейна, если все локализации этого кольца по простым идеалам (соответственно все локальные кольца схемы) являются локальными кольцами Горенштейна (в первом определении).