Грама определитель

- определитель вида [img: http://localhost:8080/file/010426-113.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010426-114.jpg] - элементы (пред)гильбертова пространства, а [img: http://localhost:8080/file/010426-115.jpg] -их скалярные произведения. Г. о. равен квадрату n-мерного объема параллелотопа, построенного на векторах [img: http://localhost:8080/file/010426-116.jpg]. Г. о. является определителем неотрицательной эрмитовой формы [img: http://localhost:8080/file/010426-117.jpg] откуда и вытекают его основные свойства: 1) Г. о. неотрицателен, т. е. [img: http://localhost:8080/file/010426-118.jpg]. Равенство [img: http://localhost:8080/file/010426-119.jpg] имеет место тогда п только тогда, когда векторы линейно зависимы. Это свойство может рассматриваться как обобщение Ноши неравенства: [img: http://localhost:8080/file/010426-120.jpg] В частности, Г. о. равен нулю, если какой-либо его главный минор (также являющийся Г. о.) равен нулю. [img: http://localhost:8080/file/010426-121.jpg] причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда подпространства [img: http://localhost:8080/file/010426-122.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010426-123.jpg] ортогональны или один из определителей [img: http://localhost:8080/file/010426-124.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010426-125.jpg] равен нулю. Геометрически это неравенство означает, что объем параллелотопа не превосходит произведения объемов дополнительных граней. В частности, [img: http://localhost:8080/file/010426-126.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010426-127.jpg] есть расстояние от элемента а п до подпространства [img: http://localhost:8080/file/010426-128.jpg] т. е. наилучшее квадратическое приближение элемента [img: http://localhost:8080/file/010426-129.jpg] полиномами вида [img: http://localhost:8080/file/010426-130.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010426-131.jpg] суть га-мерные векторы [img: http://localhost:8080/file/010426-132.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010426-133.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010426-134.jpg] Г. о. введены И. П. Грамом [1] и независимо К. А. Андреевым (см. [2]) в связи с задачами разложения функции в ортогональные ряды и наилучшего квадрати-ческого приближения функций. Г. о. применяются при решении многих задач линейной алгебры и теории функций: исследовании линейной зависимости системы векторов или функций, ортогонализации системы функций, построение проекторов, а также при изучении свойств систем функций. См. также Грама матрица. Г. о. являются частным случаем определителей вида [img: http://localhost:8080/file/010426-135.jpg] к-рые эрмитово билинейны по отношению к векторам [img: http://localhost:8080/file/010426-136.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010426-137.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010426-138.jpg] принадлежат классу [img: http://localhost:8080/file/010426-139.jpg], то справедлива формула [img: http://localhost:8080/file/010426-140.jpg]