Грина отношения эквивалентности

на полугруппе - бинарные отношения [img: http://localhost:8080/file/010430-56.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010430-57.jpg] заданные следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/010430-58.jpg] означает, что хи у порождают совпадающие левые главные идеалы; [img: http://localhost:8080/file/010430-59.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010430-60.jpg] имеют аналогичный смысл с заменой "левые" на "правые" и "двусторонние" соответственно; [img: http://localhost:8080/file/010430-61.jpg] (объединение в решетке отношений эквивалентности); [img: http://localhost:8080/file/010430-62.jpg]. Отношения [img: http://localhost:8080/file/010430-63.jpg] перестановочны в смысле умножения бинарных отношений, так что [img: http://localhost:8080/file/010430-64.jpg] совпадает с их произведением. Отношение [img: http://localhost:8080/file/010430-65.jpg] является правой конгруэнцией, т. е. стабильно справа: [img: http://localhost:8080/file/010430-66.jpg] влечет [img: http://localhost:8080/file/010430-67.jpg] для любого с;отношение [img: http://localhost:8080/file/010430-68.jpg] есть левая конгруэнция (стабильно слева). [img: http://localhost:8080/file/010430-69.jpg] -класс и [img: http://localhost:8080/file/010430-70.jpg] -класс пересекаются тогда и только тогда, когда они лежат в одном и том же [img: http://localhost:8080/file/010430-71.jpg] -классе. Все [img: http://localhost:8080/file/010430-72.jpg] -классы, лежащие в одном [img: http://localhost:8080/file/010430-73.jpg] -классе, равномощны. Если [img: http://localhost:8080/file/010430-74.jpg] -класс [img: http://localhost:8080/file/010430-75.jpg] содержит регулярный элемент, то все элементы из [img: http://localhost:8080/file/010430-76.jpg] регулярны, причем вместе с любым своим элементом [img: http://localhost:8080/file/010430-77.jpg] содержит и все инверсные к нему; такой [img: http://localhost:8080/file/010430-78.jpg] -класс наз. регулярным. В регулярном [img: http://localhost:8080/file/010430-79.jpg] -классе каждый [img: http://localhost:8080/file/010430-80.jpg] -класс и каждый [img: http://localhost:8080/file/010430-81.jpg] -класс содержит идемпотент. Если Н- произвольный [img: http://localhost:8080/file/010430-82.jpg] -класс, то либо Нявляется группой (это имеет место тогда и только тогда, когда Несть максимальная подгруппа данной полугруппы), либо [img: http://localhost:8080/file/010430-83.jpg]. Все групповые [img: http://localhost:8080/file/010430-84.jpg] -классы из одного и того же [img: http://localhost:8080/file/010430-85.jpg] -класса суть изоморфные группы. В общем случае [img: http://localhost:8080/file/010430-86.jpg], но, напр., если нек-рая степень каждого элемента полугруппы Sлежит в подгруппе (в частности, если S - периодическая полугруппа), то [img: http://localhost:8080/file/010430-87.jpg]. Отношение включения главных левых идеалов естественным образом определяет отношение частичного порядка на множестве [img: http://localhost:8080/file/010430-88.jpg] -классов; аналогично, для [img: http://localhost:8080/file/010430-89.jpg] -классов и [img: http://localhost:8080/file/010430-90.jpg] -классов. Рассматриваемые отношения были введены Дж. Грином [1].