Грина пространство

- топологич. пространство X, на к-ром определены гармонич. и супергармонич. функции и существует Грина функция (для Дupихле задачи в классе гармонич. функций), или, что равносильно, существует отличная от константы положительная супергармонич. функция. Точнее, пусть Xявляется Е- пространством, т. е. связным отделимым топологич. пространством, в к-ром: 1) каждая точка [img: http://localhost:8080/file/010430-91.jpg] имеет открытую окрестность [img: http://localhost:8080/file/010430-92.jpg], гомеоморфную нек-рому открытому множеству [img: http://localhost:8080/file/010430-93.jpg] евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/010430-94.jpg] (или его компактификации [img: http://localhost:8080/file/010430-95.jpg] по Александрову; см. Александрова бикомпактное расширение);2) образы всякого непустого пересечения [img: http://localhost:8080/file/010430-96.jpg] двух окрестностей в [img: http://localhost:8080/file/010430-97.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010430-98.jpg] изометричны, а при п=2 конформно эквивалентны. Гармонич. и супергармонич. функции на Е-пространстве Xопределяются локально посредством перехода к образам [img: http://localhost:8080/file/010430-99.jpg]. Если, кроме того, на Е-пространстве Xсуществует отличная от константы положительная супергармонич. функция, или, что равносильно, положительный потенциал, то Xназ. Грина пространством. Напр., евклидово пространство [img: http://localhost:8080/file/010430-100.jpg], его компактификация [img: http://localhost:8080/file/010430-101.jpg], римановы поверхности являются Е-пространствами. При этом [img: http://localhost:8080/file/010430-102.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010430-103.jpg] и римановы поверхности гиперболич. типа являются Г. п., а [img: http://localhost:8080/file/010430-104.jpg] и римановы поверхности параболич. типа не являются Г. п. Всякая область в Г. п. Xснова есть Г. п. В рамках аксиоматич. теории потенциала (см. Потенциала теория абстрактная).в качестве обобщения Г. п. можно рассматривать такие гармонические пространства X, на к-рых существует положительный потенциал.