Грина формулы

- формулы интегрального исчисления функций многих переменных, связывающие значения га-кратного интеграла по области D n -мерного евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/010430-105.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010430-106.jpg] -кратного интеграла по кусочно гладкой границе [img: http://localhost:8080/file/010430-107.jpg] этой области. Г. ф. получаются интегрированием по частям интегралов от дивергенции векторного поля, непрерывного в [img: http://localhost:8080/file/010430-108.jpg] и непрерывно дифференцируемого в [img: http://localhost:8080/file/010430-109.jpg] В простейшей Г. ф. [img: http://localhost:8080/file/010430-110.jpg] криволинейный интеграл по контуру Г выражается через двойной интеграл по области [img: http://localhost:8080/file/010430-111.jpg]. При этом область Dориентируется естественным образом, а на границе Г берется индуцированная ориентация, известная как обход против часовой стрелки. Формула (1) имеет простой гидродинамич. смысл: поток через границу области Г жидкости, текущей по плоскости со скоростью [img: http://localhost:8080/file/010430-112.jpg], равен интегралу по области Dот интенсивности (дивергенции) [img: http://localhost:8080/file/010430-113.jpg] распределенных в Dисточников и стоков. В этом смысле Г. ф. (1) подобна Остроградского формуле (см. также Стокса формула). Формула (1) иногда наз. именами К. Гаусса (С. Gauss) и Б. Римана (В. Riemann). Ни одно из употребляемых названий не является исторически верным: формула (1) встречалась еще в работах по анализу 18 в. - у Л. Эйлера (L. Euler) и др. Дж. Грину [1] принадлежат следующие Г. ф. потенциала теории [img: http://localhost:8080/file/010430-114.jpg] -подготовительная Г. ф. и [img: http://localhost:8080/file/010430-115.jpg] где D - область [img: http://localhost:8080/file/010430-116.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010430-117.jpg] - элемент объема [img: http://localhost:8080/file/010430-118.jpg] - элемент площади [img: http://localhost:8080/file/010430-119.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010430-120.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010430-121.jpg] - единичная внешняя (ко)нормаль к Г, [img: http://localhost:8080/file/010430-122.jpg] - оператор дифференцирования в направлении (ко) вектора N, а [img: http://localhost:8080/file/010430-123.jpg] - оператор Лапласа. Формулы (2), (3) справедливы и в случае, когда Dесть область [img: http://localhost:8080/file/010430-124.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010430-125.jpg] - элемент объема [img: http://localhost:8080/file/010430-126.jpg] - элемент (п-1)-мерного объема Г, а [img: http://localhost:8080/file/010430-127.jpg] - оператор Лапласа с пнезависимыми переменными. Обобщения Г. ф. (2) и (3) для линейных дифференциальных операторов с частными производными с достаточно гладкими коэффициентами имеют вид: 1) если [img: http://localhost:8080/file/010430-128.jpg] - (вещественно) сопряженные дифференциальные операторы второго порядка, [img: http://localhost:8080/file/010430-129.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010430-130.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010430-131.jpg] - единичный (ко)вектор внешней нормали к Г, [img: http://localhost:8080/file/010430-132.jpg] - оператор дифференцирования по направлению так наз. конормали [img: http://localhost:8080/file/010430-133.jpg] оператора L; 2) если [img: http://localhost:8080/file/010430-134.jpg] где М - конормаль оператора L,a 3) если [img: http://localhost:8080/file/010430-135.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010430-136.jpg] - (вещественно) сопряженные дифференциальные операторы порядка [img: http://localhost:8080/file/010430-137.jpg] - целочисленный мультииндекс длины [img: http://localhost:8080/file/010430-138.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010430-139.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010430-140.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010430-141.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010430-142.jpg] Здесь граничный интеграл можно записать в виде билинейной суммы [img: http://localhost:8080/file/010430-143.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010430-144.jpg] - нек-рые линейные дифференциальные операторы порядков [img: http://localhost:8080/file/010430-145.jpg]. Г. ф. играют важную роль в анализе и особенно в теории краевых задач для дифференциальных операторов (обыкновенных и с частными производными) второго и более высоких порядков. Для достаточно гладких в [img: http://localhost:8080/file/010430-146.jpg] функций [img: http://localhost:8080/file/010430-147.jpg] Г. ф. (2), (4) служат источником ряда соотношений, полезных для изучения свойств решения краевых задач, выяснения вида краевых задач, получения решения в явном виде и т. п. Напр., для гармонической в Dфункции [img: http://localhost:8080/file/010430-148.jpg] из (2) при [img: http://localhost:8080/file/010430-149.jpg] следует Гаусса теорема: [img: http://localhost:8080/file/010430-150.jpg] Для достаточно гладких в [img: http://localhost:8080/file/010430-151.jpg] функций и функции [img: http://localhost:8080/file/010430-152.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010430-153.jpg] имеющей при [img: http://localhost:8080/file/010430-154.jpg] такую же особенность, как и фундаментальное решение оператора Лапласа, верны следующие Г. ф.: [img: http://localhost:8080/file/010430-155.jpg] Здесь число [img: http://localhost:8080/file/010430-156.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/010430-157.jpg] есть площадь [img: http://localhost:8080/file/010430-158.jpg] -мерной единичной сферы пространства [img: http://localhost:8080/file/010430-159.jpg]. При этом для [img: http://localhost:8080/file/010430-160.jpg] предполагается, что граница Г имеет непрерывную касательную плоскость в нек-рой окрестности у. Формулы (5) и (6) служат основой получения интегральных представлений решений основных краевых задач потенциала теории (см. Гармоническая функция, Грина функция, Пуассона формула). Напр., отсюда для гармонической в Dфункции и(х).получаем формулу, или интеграл Грина [img: http://localhost:8080/file/010430-161.jpg] (7) играющую важную роль в теории гармонических функций. Формулы, подобные формулам (5), (6), дающие интегральные представления решения задачи Коши или смешанной задачи, имеют место и для нормально гиперболич. оператора второго порядка. См. Кирхгофа формула, Римана метод, Римана функция. О Г. ф. в теории краевых задач см. также [4] -[9].