Грина функция

- функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений. Г. ф. краевой задачи для линейного дифференциального уравнения - фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям. Г. ф. является ядром интегрального оператора, обратного к дифференциальному оператору, порожденному данным дифференциальным уравнением и однородными краевыми условиями. Г. ф. позволяет найти решения неоднородного уравнения, удовлетворяющие однородным краевым условиям. Нахождение Г. ф. сводит исследование свойств дифференциального оператора к изучению аналогичных свойств соответствующего интегрального оператора. Функция Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть L - дифференциальный оператор, порожденный дифференциальным полиномом [img: http://localhost:8080/file/010430-162.jpg] и краевыми условиями [img: http://localhost:8080/file/010430-163.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010430-164.jpg] Г. ф. оператора Lназ. функция [img: http://localhost:8080/file/010430-165.jpg], удовлетворяющая условиям: 1) [img: http://localhost:8080/file/010430-166.jpg] непрерывна и имеет непрерывные производные по хдо [img: http://localhost:8080/file/010430-167.jpg] -го порядка включительно для всех значений x и [img: http://localhost:8080/file/010430-168.jpg] из сегмента [img: http://localhost:8080/file/010430-169.jpg]; 2) при любом фиксированном [img: http://localhost:8080/file/010430-170.jpg] из интервала [img: http://localhost:8080/file/010430-171.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/010430-172.jpg] имеет равномерно непрерывные производные n-го порядка по хв каждом из полусегментов [img: http://localhost:8080/file/010430-173.jpg], причем производная (п-1)-го порядка при [img: http://localhost:8080/file/010430-174.jpg] удовлетворяет условию [img: http://localhost:8080/file/010430-175.jpg] 3) в каждом из полусегментов [img: http://localhost:8080/file/010430-176.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/010430-177.jpg], рассматриваемая как функция от х, удовлетворяет уравнению [img: http://localhost:8080/file/010430-178.jpg] и краевым условиям Ujx[G]=0, j=1, 2,..., n. Если краевая задача [img: http://localhost:8080/file/010430-179.jpg] имеет лишь тривиальные решения, то оператор Lимеет и притом только одну Г. ф. (см. [1]). При этом для любой функции [img: http://localhost:8080/file/010430-180.jpg], непрерывной на сегменте [img: http://localhost:8080/file/010430-181.jpg], существует решение краевой задачи [img: http://localhost:8080/file/010430-182.jpg], и это решение задается формулой [img: http://localhost:8080/file/010430-183.jpg] Если оператор [img: http://localhost:8080/file/010430-184.jpg] имеет Г. ф. [img: http://localhost:8080/file/010430-185.jpg], то сопряженный оператор [img: http://localhost:8080/file/010430-186.jpg] также имеет Г. ф., к-рая равна [img: http://localhost:8080/file/010430-187.jpg] Если, в частности, оператор Lсамосопряженный [img: http://localhost:8080/file/010430-188.jpg] то есть Г. ф. в этом случае является эрмитовым ядром. Напр., Г. ф. самосопряженного оператора L2-го порядка, порожденного дифференциальной операцией с действительными коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/010430-189.jpg] и краевыми условиями [img: http://localhost:8080/file/010430-190.jpg] имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/010430-191.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/010430-192.jpg] - произвольные решения уравнения [img: http://localhost:8080/file/010430-193.jpg], удовлетворяющие соответственно условиям [img: http://localhost:8080/file/010430-194.jpg] где W - определитель Вронского (вронскиан).решений [img: http://localhost:8080/file/010430-195.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010430-196.jpg], причем можно показать, что Сне зависит от [img: http://localhost:8080/file/010430-197.jpg]. Если оператор Lимеет Г. ф., то краевая задача на собственные значения [img: http://localhost:8080/file/010430-198.jpg] эквивалентна интегральному уравнению [img: http://localhost:8080/file/010430-199.jpg] к которому применима теория Фредгольма. Поэтому краевая задача [img: http://localhost:8080/file/010430-200.jpg] может иметь не более счетного числа собственных значений [img: http://localhost:8080/file/010430-201.jpg] у которых отсутствуют конечные предельные точки. Сопряженная задача имеет комплексно сопряженные собственные значения той же кратности. Для каждого [img: http://localhost:8080/file/010430-202.jpg], не являющегося собственным значением оператора L, можно построить Г. ф. [img: http://localhost:8080/file/010430-203.jpg] оператора [img: http://localhost:8080/file/010430-204.jpg], где I - тождественный оператор. Функция [img: http://localhost:8080/file/010430-205.jpg] является мероморф-ной функцией параметра [img: http://localhost:8080/file/010430-206.jpg]; ее полюсами могут быть лишь собственные значения оператора L. Если кратность собственного значения [img: http://localhost:8080/file/010430-207.jpg] равна единице, то [img: http://localhost:8080/file/010430-208.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010430-209.jpg] регулярна в окрестности точки [img: http://localhost:8080/file/010430-210.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010430-211.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010430-212.jpg] - собственные функции операторов [img: http://localhost:8080/file/010430-213.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010430-214.jpg], отвечающие собственным значениям [img: http://localhost:8080/file/010430-215.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010430-216.jpg] и нормированные так, что [img: http://localhost:8080/file/010430-217.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/010430-218.jpg] имеет бесконечно много полюсов и при том только 1-го порядка, то существует полная биортогональная система [img: http://localhost:8080/file/010430-219.jpg] собственных функций операторов [img: http://localhost:8080/file/010430-220.jpg]. Если занумеровать собственные значения в порядке возрастания их абсолютных величин, то интеграл [img: http://localhost:8080/file/010430-221.jpg] равен частичной сумме [img: http://localhost:8080/file/010430-222.jpg] разложения функции [img: http://localhost:8080/file/010430-223.jpg] по собственным функциям оператора [img: http://localhost:8080/file/010430-224.jpg]. Положительное число Rвыбирается так, чтобы на окружности [img: http://localhost:8080/file/010430-225.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/010430-226.jpg] была регулярной по [img: http://localhost:8080/file/010430-227.jpg]. Для регулярной краевой задачи и для любой кусочно гладкой функции [img: http://localhost:8080/file/010430-228.jpg] в интервале [img: http://localhost:8080/file/010430-229.jpg] выполняется равенство [img: http://localhost:8080/file/010430-230.jpg] т. е. имеет место разложимость в сходящийся ряд (см. [1]). Если Г. ф. [img: http://localhost:8080/file/010430-231.jpg] оператора [img: http://localhost:8080/file/010430-232.jpg] имеет кратные полюсы, то ее главная часть выражается через канонич. системы собственных и присоединенных функций операторов [img: http://localhost:8080/file/010430-233.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010430-234.jpg] (см. [2]). Выше рассматривался случай, когда краевая задача Ly=0 не имела нетривиальных решений. Если же эта краевая задача имеет нетривиальные решения то вводят так наз. обобщенную Грина функцию. Пусть, напр., имеется ровно тлинейно независимых решений задачи [img: http://localhost:8080/file/010430-235.jpg]. Тогда существует обобщенная Г. ф. [img: http://localhost:8080/file/010430-236.jpg], к-рая обладает свойствами 1) и 2) обычной Г. ф., при [img: http://localhost:8080/file/010430-237.jpg] удовлетворяет как функция хкраевым условиям и, кроме того, является решением уравнения [img: http://localhost:8080/file/010430-238.jpg] здесь [img: http://localhost:8080/file/010430-239.jpg] - система линейно независимых решений сопряженной задачи [img: http://localhost:8080/file/010430-240.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010430-241.jpg] - произвольная биортогональная ей система непрерывных функций. Тогда [img: http://localhost:8080/file/010430-242.jpg] есть решение краевой задачи [img: http://localhost:8080/file/010430-243.jpg], если функция f(x).непрерывна и удовлетворяет условию разрешимости, т. е. ортогональна всем [img: http://localhost:8080/file/010430-244.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/010430-245.jpg] - одна из обобщенных Г. ф. оператора L, то любая другая обобщенная Г. ф. может быть представлена в виде [img: http://localhost:8080/file/010430-246.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010430-247.jpg] -полная система линейно независимых решений задачи [img: http://localhost:8080/file/010430-248.jpg] - произвольные непрерывные функции (см. [3]). Функция Грина для дифференциальных уравнений с частными производными. 1) Эллиптические уравнения. Пусть А - эллиптический дифференциальный оператор порядка т, порожденный дифференциальным полиномом [img: http://localhost:8080/file/010430-249.jpg] в ограниченной области [img: http://localhost:8080/file/010430-250.jpg] и однородными краевыми условиями [img: http://localhost:8080/file/010430-251.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010430-252.jpg] - граничные операторы с коэффициентами, определенными на границе [img: http://localhost:8080/file/010430-253.jpg] области [img: http://localhost:8080/file/010430-254.jpg], к-рая предполагается достаточно гладкой. Функция [img: http://localhost:8080/file/010430-255.jpg] наз. Г. ф. оператора А, если при любом [img: http://localhost:8080/file/010430-256.jpg] она удовлетворяет однородным краевым условиям [img: http://localhost:8080/file/010430-257.jpg] и, рассматриваемая как обобщенная функция, удовлетворяет уравнению [img: http://localhost:8080/file/010430-258.jpg] В случае операторов с гладкими коэффициентами и нормальных граничных условий, обеспечивающих единственность решения однородной краевой задачи, Г. ф. существует и решение краевой задачи [img: http://localhost:8080/file/010430-259.jpg] представляется в виде (см. [4]) [img: http://localhost:8080/file/010430-260.jpg] В этом случае для Г. ф. справедливы равномерные при [img: http://localhost:8080/file/010430-261.jpg] оценки [img: http://localhost:8080/file/010430-262.jpg] и Г. ф. равномерно ограничена, если [img: http://localhost:8080/file/010430-263.jpg]. Краевая задача на собственные значения [img: http://localhost:8080/file/010430-264.jpg] эквивалентна интегральному уравнению [img: http://localhost:8080/file/010430-265.jpg] для к-рого применима теория Фредгольма (см. [5]). При этом Г. ф. сопряженной краевой задачи равна [img: http://localhost:8080/file/010430-266.jpg] Отсюда, в частности, следует, что может существовать не более чем счетное число собственных значений и что они не имеют конечных предельных точек, а сопряженная краевая задача имеет комплексно сопряженные собственные значения той же кратности. Для уравнений 2-го порядка Г. ф. изучена полнее, поскольку явно выписывается вид особенности фундаментального решения. Так, для оператора Лапласа Г. ф. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010430-267.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010430-268.jpg] - гармоническая в области [img: http://localhost:8080/file/010430-269.jpg] функция, выбранная таким образом, чтобы Г. ф. удовлетворяла краевому условию. Г. ф. [img: http://localhost:8080/file/010430-270.jpg] первой краевой задачи для эллиптич. оператора 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/010430-271.jpg] с гладкими коэффициентами в области Wс границей дWтипа Ляпунова позволяет выразить решение задачи [img: http://localhost:8080/file/010430-272.jpg] в виде [img: http://localhost:8080/file/010430-273.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010430-274.jpg] - производная по внешней конормалн для оператора [img: http://localhost:8080/file/010430-275.jpg]. В случае, если однородная краевая задача [img: http://localhost:8080/file/010430-276.jpg] имеет нетривиальные решения, то, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, вводится обобщенная Г. ф. Так, напр., в случае второй краевой задачи для оператора Лапласа существует обобщенная Г. ф., наз. Неймана функцией (см. [3]). 2) Параболические уравнения. Пусть Р - параболический дифференциальный оператор порядка т, порожденный дифференциальным полиномом [img: http://localhost:8080/file/010430-277.jpg] и однородными начальным и краевыми условиями [img: http://localhost:8080/file/010430-278.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010430-279.jpg] - граничные операторы с коэффициентами, определенными при [img: http://localhost:8080/file/010430-280.jpg]. Г. ф. оператора Рназ. функция [img: http://localhost:8080/file/010430-281.jpg], к-рая для любых [img: http://localhost:8080/file/010430-282.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010430-283.jpg] удовлетворяет по ходнородным краевым условиям, является при [img: http://localhost:8080/file/010430-284.jpg] решением уравнения [img: http://localhost:8080/file/010430-285.jpg] и для любой непрерывной функции [img: http://localhost:8080/file/010430-286.jpg] удовлетворяет соотношению [img: http://localhost:8080/file/010430-287.jpg] В случае операторов с гладкими коэффициентами и нормальных граничных условий, обеспечивающих единственность решения задачи [img: http://localhost:8080/file/010430-288.jpg], Г. ф. существует, и решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/010430-289.jpg] удовлетворяющее однородным краевым условиям и начальному условию [img: http://localhost:8080/file/010430-290.jpg], имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010430-291.jpg] При изучении эллиптич. или параболич. систем вместо Г. ф. вводится понятие матрицы Грина, к-рая позволяет выразить решения однородных краевых задач для указанных систем в виде интегралов от произведений матрицы Грина на векторы правых частей и начальных условий (см. [7]). Г. ф. наз. по имени Дж. Грина (G. Green), впервые рассмотревшего один ее частный случай в своем исследовании по теории потенциала (1828).