Груды и полугруды

- алгебры с одной тернарной операцией, удовлетворяющей нек-рым тождествам. Груды (г.) определяются тождествами: [img: http://localhost:8080/file/010431-93.jpg] а полугруды (п.) - тождествами: [img: http://localhost:8080/file/010431-94.jpg] Всякая груда является полугрудой. Если в множестве Ф (А, В).всех взаимно однозначных отображений множества Ана множество Вопределить тернарную операцию, ставя в соответствие упорядоченной тройке отображений [img: http://localhost:8080/file/010431-95.jpg] отображение, являющееся суперпозицией [img: http://localhost:8080/file/010431-96.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010431-97.jpg] становится г. Любая г. изоморфна нек-рой г. взаимно однозначных отображений. Если в произвольной группе Gввести тернарную операцию, полагая [img: http://localhost:8080/file/010431-98.jpg] то также получится г. (груда, ассоциированная с данной группой). Понятие г. было введено при рассмотрении вышеуказанной тернарной операции в абелевой группе (см. [1]). Г. изучались и с абстрактной точки зрения (см. [2], [3]). В частности, Р. Бэр доказал [2], что если в г. Sфиксировать произвольный элемент [img: http://localhost:8080/file/010431-99.jpg], то операции, определяемые равенствами [img: http://localhost:8080/file/010431-100.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010431-101.jpg] задают на Sструктуру группы, в к-рой s0 является единицей; при этом г., ассоциированная с этой группой, совпадает с исходной г., а группы, получаемые из данной г. фиксированием различных ее элементов, изоморфны. Другими словами, многообразие всех г. эквивалентно многообразию всех групп. Совокупность [img: http://localhost:8080/file/010431-102.jpg] всех бинарных отношений между элементами множеств Аи Вявляется п. относительно тройного умножения: [img: http://localhost:8080/file/010431-103.jpg] Множество всех обратимых частичных отображений Ав В также замкнуто относительно тройного умножения и является обобщенной грудой (см. [4]), то есть п. с тождествами: [img: http://localhost:8080/file/010431-104.jpg] Обобщенные г. находят приложение в основаниях дифференциальной геометрии при рассмотрении координатных атласов (см. [5]). П. тесно связаны с полугруппами с инволюцией. Если на полугруппе Sзадана инволюция q, являющаяся антиавтоморфизмом, то тернарная операция [s1s2s3]=s1q(s2)s3 превращает S в п. Всякая п. изоморфна подполугруде нек-рой полугруппы с инволюцией (см. [4]).