Грётша теоремы

- различные результаты о конформных и квазиконформных отображениях X. Грётша (см. [1]). На основе разработанного им полос метода, представляющего первую общую форму метода конформных модулей (см. Экстремальной метрики, метод),X. Грётш систематически исследовал и решил большое количество экстремальных задач конформного отображения многосвязных (в том числе бесконечносвязных) областей, включая вопросы существования, единственности и геометрич. свойств экстремальных отображений. Ниже приведены нек-рые из простейших Г. т. Среди всех однолистных конформных отображений [img: http://localhost:8080/file/010430-25.jpg] фиксированного кругового кольца [img: http://localhost:8080/file/010430-26.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010430-27.jpg], при к-рых единичная окружность [img: http://localhost:8080/file/010430-28.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010430-29.jpg] переходит в себя, максимум диаметра образа окружности [img: http://localhost:8080/file/010430-30.jpg] достигается в том и только в том случае, когда граничной компонентой [img: http://localhost:8080/file/010430-31.jpg] служит прямолинейный отрезок с серединой в точке [img: http://localhost:8080/file/010430-32.jpg]. Аналогичный результат установлен для многосвязных областей. Среди всех однолистных конформных отображений [img: http://localhost:8080/file/010430-33.jpg] фиксированной многосвязной области [img: http://localhost:8080/file/010430-34.jpg] с разложением в бесконечности [img: http://localhost:8080/file/010430-35.jpg] и с нормировкой [img: http://localhost:8080/file/010430-36.jpg] в фиксированной точке [img: http://localhost:8080/file/010430-37.jpg] максимум [img: http://localhost:8080/file/010430-38.jpg], максимум [img: http://localhost:8080/file/010430-39.jpg] и минимум [img: http://localhost:8080/file/010430-40.jpg] в фиксированной точке [img: http://localhost:8080/file/010430-41.jpg] достигаются только на отображениях, переводящих каждую граничную компоненту Всоответственно в дугу окружности с центром в точке [img: http://localhost:8080/file/010430-42.jpg]; в дугу эллипса с фокусами в точках [img: http://localhost:8080/file/010430-43.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010430-44.jpg] в дугу гиперболы с фокусами в точках [img: http://localhost:8080/file/010430-45.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010430-46.jpg]. В каждой из указанных задач экстремальное отображение существует и единственно. В том же классе отображений для фиксированного [img: http://localhost:8080/file/010430-47.jpg] областью значений функционала [img: http://localhost:8080/file/010430-48.jpg] является круг [img: http://localhost:8080/file/010430-49.jpg] Каждая граничная точка этого круга является значением функционала Ф на единственном отображении из рассматриваемого класса, обладающем определенными геометрич. свойствами. X. Грётш впервые предложил одну из форм представления квазиконформных отображений и перенес на эти отображения многие экстремальные результаты, установленные им ранее для конформных отображений.