Даниеля интеграл

- расширение понятия интеграла, предложенное П. Даниелем [1]. Схема построения этого интеграла наз. схемой Даниеля, представляет собой продолжение на более широкий класс функций интеграла, определенного первоначально для нек-рой совокупности функций, называемых элементарными функциями. При сохранении способа продолжения изменение объема исходной совокупности элементарных функций приводит к разным расширениям понятия интеграла. В этой схеме аксиоматизируется понятие элементарного интеграла, в отличие от схемы Лебега (см. Лебега интеграл), аксиоматизирующей понятие меры. Пусть X- произвольное множество и L0- некоторая совокупность определенных на Xдействительных ограниченных функций; эти функции наз. элементарными. Предполагается, что L0- векторная решетка, т. [img: http://localhost:8080/file/020501-67.jpg] Пусть на L0 определен функционал I(f), принимающий действительные значения и такой, что [img: http://localhost:8080/file/020501-68.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/020501-69.jpg] для любого х, то [img: http://localhost:8080/file/020501-70.jpg] (непрерывность относительно монотонной сходимости). Такой функционал наз. интегралом от элементарных функций, или элементарным интегралом. Множество [img: http://localhost:8080/file/020501-71.jpg] наз. множеством меры нуль, если для любого e>0 найдется такая неубывающая последовательность [img: http://localhost:8080/file/020501-72.jpg] что sup [img: http://localhost:8080/file/020501-73.jpg], где cM (х)- характеристич. функция множества М: [img: http://localhost:8080/file/020501-74.jpg] Функция f(x), определенная на X, принадлежит классу L+, если существует такая последовательность [img: http://localhost:8080/file/020501-75.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/020501-76.jpg] почти всюду и [img: http://localhost:8080/file/020501-77.jpg]. Число [img: http://localhost:8080/file/020501-78.jpg] наз. интегралом от f. Интеграл I(f) не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности {fn}. Классом Lназ. совокупность функций f, определенных на Xи представимых в виде f=f1-f2, где [img: http://localhost:8080/file/020501-79.jpg]. Функции класса Lназ. суммируемыми, а число [img: http://localhost:8080/file/020501-80.jpg] - интегралом Даниеля от функции f. Класс Lс точностью до множества меры нуль является векторной решеткой конечных функций, замкнутой относительно сходимости почти всюду с ограниченными интегралами, и Д. и. от суммируемых функций обладает свойствами дистрибутивности, неотрицательности, непрерывности (относительно сходимости почти всюду), мажорированной суммируемой функцией (теорема Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла), а также рядом других естественных свойств интеграла. В том случае, когда Х=[ а, b]и L0 есть совокупность ступенчатых функций [img: http://localhost:8080/file/020501-81.jpg] Д. и. совпадает с интегралом Лебега от функций, суммируемых на [ а, b]. Схема Даниеля применима для построения интеграла от функций со значениями в s-полной решетке.