Дарбу сумма

- сумма специального вида. Пусть действительная функция f(x)определена и ограничена на отрезке [ а, b], [img: http://localhost:8080/file/020502-15.jpg] - его разбиение: [img: http://localhost:8080/file/020502-16.jpg] Суммы [img: http://localhost:8080/file/020502-17.jpg] наз. соответственно нижней и верхней интегральной Д. с. Для любых двух разбиений t и t' отрезка [ а, b]справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/020502-18.jpg] т. е. любая нижняя Д. с. меньше верхней. Если [img: http://localhost:8080/file/020502-19.jpg] - интегральная сумма Римана, то [img: http://localhost:8080/file/020502-20.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020502-21.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020502-22.jpg] Геометрич. смысл нижней и верхней Д. с. заключается в том, что они равны площадям ступенчатых фигур, состоящих из прямоугольников с основаниями длины D х i и высотами соответственно mi и Mi (см. рис.). Эти фигуры в случае, когда [img: http://localhost:8080/file/020502-23.jpg] аппроксимируют изнутри и извне криволинейную трапецию, образованную графиком функции f(x), осью абсцисс и отрезками прямых х=а и х=b (которые могут вырождаться в точки). Величины [img: http://localhost:8080/file/020502-24.jpg] (1) наз. соответственно нижним и верхним интегралом Дарбу. Они являются пределами нижних и верхних Д. с: [img: http://localhost:8080/file/020502-25.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020502-26.jpg] - мелкость разбиения т. Условие [img: http://localhost:8080/file/020502-27.jpg] является необходимым и достаточным для того, чтобы функция f(x)была интегрируема по Риману на отрезке [ а, b]. При этом в случае выполнения условия (2) значение нижнего и верхнего интегралов Дарбу совпадает с интегралом Римана [img: http://localhost:8080/file/020502-28.jpg] Условие (2) с помощью Д. с. может быть сформулировано в следующей эквивалентной форме: для любого е>0 существует такое [img: http://localhost:8080/file/020502-29.jpg] разбиение т, что Условие [img: http://localhost:8080/file/020502-30.jpg] также является необходимым и достаточным для интегрируемости по Риману функции на отрезке [ а, b]. При этом [img: http://localhost:8080/file/020502-31.jpg] где wi(f) - колебание функции f(x)на отрезке [img: http://localhost:8080/file/020502-32.jpg] Понятие нижних и верхних Д. с. обобщается на случай функций многих переменных, измеримых в смысле нек-рой положительной меры m. Пусть Е- измеримое (напр., по Жордану или по Лебегу) множество n-мерного пространства n=1, 2,..., [img: http://localhost:8080/file/020502-33.jpg] разбиение множества Е, т. е. система таких измеримых множеств Е, что [img: http://localhost:8080/file/020502-35.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020502-34.jpg] Пусть функция f ограничена на множестве Е, [img: http://localhost:8080/file/020502-36.jpg] Суммы [img: http://localhost:8080/file/020502-37.jpg] также наз. нижней и, соответственно, верхней Д. с. Нижний I* и верхний I* интегралы определяются по формулам (1). В случае меры Жордана их равенство является необходимым и достаточным условием интегрируемости функции по Риману, причем их общее значение совпадает с интегралом Римана. В случае же меры Лебега для ограниченных измеримых по Лебегу функций всегда [img: http://localhost:8080/file/020502-38.jpg] Вообще, если и. - полная 0-аддитивная мера, определенная на s-алгебре [img: http://localhost:8080/file/020502-39.jpg] f - ограниченная m-измеримая на Едействительная функция, [img: http://localhost:8080/file/020502-40.jpg] разбиение множества [img: http://localhost:8080/file/020502-41.jpg] на m-измеримые множества Ei, удовлетворяющие условиям (3), (4), Д. с. st. и St определяются по формулам (5) - (6), а интегралы I* и I* - по формулам (1), в к-рых везде под m понимают рассматриваемую меру, то [img: http://localhost:8080/file/020502-42.jpg] Обобщением Д. с. для неограниченных m-измеримых функций f, определенных на множествах [img: http://localhost:8080/file/020502-43.jpg] являются ряды (если они абсолютно сходятся) [img: http://localhost:8080/file/020502-44.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020502-45.jpg] - разбиение множества [img: http://localhost:8080/file/020502-46.jpg] (это разбиение состоит, вообще говоря, из бесконечного числа m-измеримых множеств Е i, удовлетворяющих условию (4) и, конечно, таких, что [img: http://localhost:8080/file/020502-47.jpg] а mi и Mi определяются по формулам (5), при этом в формулах (7) (как и выше в формулах (6)) считается, что [img: http://localhost:8080/file/020502-48.jpg] =0 [img: http://localhost:8080/file/020502-49.jpg] =0. Если снова определить I* и I* по (1), понимая теперь st и St. в смысле (7), то I* = I*, причем в случае, когда величина I=I*=I* является конечной, функция f интегрируема по мере m и [img: http://localhost:8080/file/020502-50.jpg] Названы по имени Г. Дарбу [1].