Двойная точка

- один из видов особых точек кривой F(x, y) = 0, в к-рой первые частные производные равны нулю и по крайней мере одна из вторых частных производных функции F(х, у)не равна нулю. При исследовании строения кривой вблизи Д. т. рассматривают знак выражения [img: http://localhost:8080/file/020502-86.jpg] Если D>0, те Д. т. наз. изолированной точкой; напр., у кривой [img: http://localhost:8080/file/020502-87.jpg] начало координат есть изолированная Д. т. (см. рис. 1). [img: http://localhost:8080/file/020502-89.jpg] Если D<0, то Д. т. наз. узловой, или точкой самопересечения; напр., у кривой начало координат есть узловая точка (см. рис. 2). [img: http://localhost:8080/file/020502-88.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020502-90.jpg] Если Д=0, то Д. т. кривой является либо изолированной, либо характеризуется тем, что различные ветви кривой имеют в этой точке общую касательную: например, а) точка возврата 1-го рода - ветви кривой расположены по разные стороны от общей касательной и по одну сторону от общей нормали (см., напр., рис. 3; у 2 -х 3=0); [img: http://localhost:8080/file/020502-91.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020502-92.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020502-93.jpg] б) точка возврата 2-г о рода - ветви кривой расположены по одну сторону от общей касательной и по одну сторону от общей нормали (см., напр., рис. 4; (у-x2)2-x5=0); в) точка самоприкосновения - ветви кривой соприкасаются (см., напр., рис. 5; у 2-x4=0). А. Б. Иванов.