Двойной предел

- 1) Д. п. последовательности, предел двойной последовательности {х тп}, т, n=1, 2,...,- число а, определяемое следующим образом: для любого е>0 существует такое Ne, что для всех m>Ne и n>Ne выполняется неравенство Обозначение: [img: http://localhost:8080/file/020503-41.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020503-42.jpg] Если для любого e>0 существует такое Ne, что для всех m>Ne и n>Ne выполняется неравенство |xmn|>e, то последовательность х тп имеет своим пределом бесконечность: [img: http://localhost:8080/file/020503-43.jpg] Аналогично определяются бесконечные пределы [img: http://localhost:8080/file/020503-44.jpg] Д. п. последовательности является частным случаем Д. п. функции по множеству, а именно в случае, когда это множество состоит из точек плоскости с целочисленными координатами ти п. Поэтому между Д. п. последовательности и ее повторными пределами существует та же связь, что и в общем случае. 2) Д. п. функции - предел функции двух переменных, определяемый следующим образом. Пусть функция f(x, у)определена на множестве Е, расположенном в плоскости XOY, а (х 0, у 0)- его предельная точка. Число Аназ. Д. п. функции f(x, у)в точке (х 0, у 0), или при [img: http://localhost:8080/file/020503-45.jpg] если для любого e>0 существует такое d>0, что для всех точек [img: http://localhost:8080/file/020503-46.jpg] координаты к-рых удовлетворяют неравенствам [img: http://localhost:8080/file/020503-47.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/020503-48.jpg] В этом случае пишут [img: http://localhost:8080/file/020503-49.jpg] Используя понятие предела последовательности, определение Д. п. функции можно сформулировать следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/020503-50.jpg] если для любой последовательности [img: http://localhost:8080/file/020503-51.jpg] выполняется условие [img: http://localhost:8080/file/020503-52.jpg] Аналогично формулируются определения Д. п. функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также определения бесконечных Д. п. функции. Существует связь между Д. п. функции и повторным пределом функции в точке (x0, y0) или в [img: http://localhost:8080/file/020503-53.jpg]: пусть х 0 и у 0- предельные точки (конечные или бесконечные) для числовых множеств Xи У, [img: http://localhost:8080/file/020503-54.jpg] Если суще- ствует конечный или бесконечный Д. п. функции [img: http://localhost:8080/file/020503-55.jpg] и при любом [img: http://localhost:8080/file/020503-56.jpg] существует конечный предел [img: http://localhost:8080/file/020503-57.jpg] то существует и повторный предел [img: http://localhost:8080/file/020503-58.jpg] и он равен Д. п. функции. Используя понятие окрестности, определению Д. п. функции можно придать следующий вид: пусть а- предельная точка (х 0, у 0)множества Еили символ [img: http://localhost:8080/file/020503-59.jpg], причем в последнем случае множество Енеограничено, А- число или один из символов [img: http://localhost:8080/file/020503-60.jpg] тогда [img: http://localhost:8080/file/020503-61.jpg] если для любой окрестности О A точки или символа Асуществует такая окрестность О а числа или символа а, что для всех [img: http://localhost:8080/file/020503-62.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020503-63.jpg] выполняется условие [img: http://localhost:8080/file/020503-64.jpg] В этом виде определение Д. п. функции переносится на случай, когда функция f определена на произведении топологич. пространств Xи Y, [img: http://localhost:8080/file/020503-65.jpg] а значения f(x, у)также принадлежат некоторому топологическиму пространству. Л. Д. Кудрявцев.