Двойственности принцип

- 1) Д. п. в математической логике - теорема о взаимозаменяемости в определенном смысле логич. операций в формулах формальных логических и логико-предметных языков. Пусть А- формула языка логики высказываний или логики предикатов, не содержащая знака импликации [img: http://localhost:8080/file/020503-111.jpg]; формула А* наз. двойственной формуле А, если она может быть получена из Азаменой в Акаждого вхождения символов [img: http://localhost:8080/file/020503-112.jpg] двойственными им операциями, т. е. соответственно символами [img: http://localhost:8080/file/020503-113.jpg] Д. п. гласит, что если [img: http://localhost:8080/file/020503-114.jpg] истинно, то истинно [img: http://localhost:8080/file/020503-115.jpg] В частности, если формулы А и В эквивалентны, то эквивалентны и двойственные им формулы А* и В*. Д. п. справедлив для классич. систем, при этом эквивалентность и истинность формул в его формулировке могут пониматься как в терминах интерпретаций, так и в смысле выводимости в соответствующем классич. исчислении. При конструктивном понимании формул Д. п. перестает действовать. Так, напр., в языке логики высказываний импликация [img: http://localhost:8080/file/020503-116.jpg] конструктивно верна и даже выводима в Гейтинга формальной системе, однако обратная импликация двойственных формул [img: http://localhost:8080/file/020503-117.jpg] конструктивно неверна (напр., нереализуема по Клини - Роузу). С Д. п. тесно связана следующая теорема: если F*(А 1,..., А n) - формула, двойственная пропозициональной или предикатной формуле F(A1,..., А п), построенной без употребления импликации из элементарных высказываний А 1,..., А п, то формула [img: http://localhost:8080/file/020503-118.jpg] F(A1,..., А п)эквивалентна формуле [img: http://localhost:8080/file/020503-119.jpg] в классич. исчислении высказываний или предикатов, соответственно.