Двоякопериодическая функция

- однозначная аналитич. функция f(z), имеющая только изолированные особенности на всей конечной плоскости комплексного переменного z и такая, что существуют два числа р 1, р 2, отношение к-рых не является действительным числом и к-рые являются периодами f(z), т. е. р 1, р 2 таковы, что имеет место тождество [img: http://localhost:8080/file/020505-99.jpg] (Если отношение р 1/р 2 действительно и рационально, то f(z) - однопериодич. функция; если оно - иррационально, то f(z)=const.) Все числа вида тр 1+пр 2, где т, п- целые, также являются периодами f(г). Все периоды данной Д. ф. образуют дискретную абелеву группу по сложению, наз. группой периодов (или модулем периодов), базис к-рой (базис периодов) состоит из двух примитивных периодов 2w1, 2w3, [img: http://localhost:8080/file/020505-100.jpg] Все остальные периоды этой Д. ф. представимы в виде 2mw1+2nw3, где т, п- целые. Не существует аналитич. функций, одного комплексного переменного, кроме констант, имеющих более двух примитивных периодов. Точки вида 2mw1+2nw3, где т, п- целые, образуют решетку периодов, разбивающую всю плоскость z на параллелограммы периодов. Точки (числа) zl, z2, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/020505-101.jpg] наз. конгруэнтными (сравнимыми по модулю периодов). В конгруэнтных точках Д. ф. f(z) принимает одно и то же значение, поэтому достаточно изучить поведение f(z) в к.-л. основном параллелограмме периодов. Обычно в. качестве такового принимается множество точек [img: http://localhost:8080/file/020505-102.jpg] т. е. параллелограмм с вершинами [img: http://localhost:8080/file/020505-103.jpg] Не существует отличной от константы Д. ф., регулярной во всем основном параллелограмме периодов. Мероморфные Д. ф. наз. эллиптическими функциями. Обобщение понятия эллиптич. функций на случай функций f(z1, z2,..., zn)от [img: http://localhost:8080/file/020505-104.jpg] комплексных переменных носит название абелевых функций.