Двух тел задача

- задача о движении в трехмерном евклидовом пространстве Е 3 двух материальных точек Р 1 и Р 2 с массами т 1 и т 2 под действием ньютонова притяжения. Д. т. з. является частным случаем задачи птел, к-рая описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений порядка вп и имеет 10 независимых интегралов: 6 - движения центра инерции, 3 - площадей и 1 - энергии (см. [1]). Д. т. з. имеет, кроме того, еще три интеграла Лапласа (из них один независим от предыдущих) и является полностью интегрируемой (см. [2]). Интегрирование Д. т. з. удобнее производить в специальных системах координат, использующих указанные интегралы. Если начало декартовых координат х, y, z поместить в точку Р 1 (при этом используются все 6 интегралов движения центра инерции) и ось zнаправить по вектору, составленному из интегралов площадей (при этом используются два интеграла площадей), то движение точки Р 2 происходит в плоскости z=0и удовлетворяет системе [img: http://localhost:8080/file/020506-53.jpg] (1) где [img: http://localhost:8080/file/020506-54.jpg] m=f(m1+m2), f - гравитационная постоянная. Система (1) имеет 4 интеграла: [img: http://localhost:8080/file/020506-55.jpg] су- mxr-1 = l1 и cx+myr-1 =-l2 (Лапласа), связанных соотношением При этом [img: http://localhost:8080/file/020506-56.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020506-57.jpg] (2) т. е. орбиты точки Р 2 суть конич. сечения с параметром р=с2/m, большой полуосью a=-m/(2h), эксцентриситетом [img: http://localhost:8080/file/020506-58.jpg] долготой перицентра со [img: http://localhost:8080/file/020506-59.jpg] и с фокусом в начале координат. Положение точки Р 2 на орбите определяют истинной аномалией v, отсчитываемой от направления на перицентр; тогда (2) дает r=p/(1+ecos v). Если [img: http://localhost:8080/file/020506-60.jpg], то возможны три типа орбит (I) при h<0 это - эллипсы, тогда [img: http://localhost:8080/file/020506-61.jpg] (II) при h>0 это - гиперболы, тогда [img: http://localhost:8080/file/020506-62.jpg] (III) при h=0 это - параболы, тогда [img: http://localhost:8080/file/020506-63.jpg] Здесь t - момент прохождения через перицентр, и- эксцентрическая аномалия. Если c=0, то движение происходит по прямой линии. Д. т. з. описывает невозмущенное кеплерово движение планеты относительно Солнца либо спутника относительно планеты и т. п.