Действительное алгебраическое многообразие

- множество A = X(R)действительных точек алгебраич. многообразия X, определенного над полем R действительных чисел. Д. а. м. наз. неособым, если X- неособое алгебраич. многообразие. В этом случае Аявляется гладким многообразием, а его размерность dim Аравна размерности комплексного многообразия СА = Х (С), называемого комплексификацией многообразия А. Наиболее изучены неособые регулярные полные пересечения, т. е. многообразия Xв проективном пространстве RPq, являющиеся неособыми регулярными пересечениями гиперповерхностей [img: http://localhost:8080/file/020507-59.jpg] где Pi(z)- однородный действительный многочлен от qпеременных степени mi. В этом случае матрица [img: http://localhost:8080/file/020507-60.jpg] имеет ранг s в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/020507-61.jpg] dim A = n=q-s. Пусть Вобозначает Д. а. м., определяемое усеченной системой [img: http://localhost:8080/file/020507-62.jpg] Примеры регулярных полных пересечений: 1) Плоская действительная алгебраич. кривая; при этом q=2, s=l, СВ = СР 2, B=RP2. 2) Действительная алгебраич. гиперповерхность; при этом s=l, СВ = СР q, B = RPq. В частности, при q=3 получается действительная алгебраич. поверхность. 3) Действительная алгебраическая пространствен" ная кривая; при этом q=3, s=2. Поверхность Взадается уравнением p1(z)=0, а кривая Авысекается на Вповерхностью p2(z)=0. Плоская действительная алгебраич. кривая Апорядка т 1 состоит в плоскости RP2 из конечного числа компонент, диффеоморфных окружности. При т 1 четном все они вложены в RP2 двусторонне, а при т 1 нечетном одна компонента вложена односторонне, а остальные - двусторонне. Двусторонне вложенная компонента кривой Аназ. овалом кривой А. Овал, лежащий внутри нечетного числа других овалов кривой А, наз. нечетным, остальные овалы наз. четными. Число компонент плоской действительной алгебраич. кривой порядка т 1 не превосходит [img: http://localhost:8080/file/020507-63.jpg] (теорема Гарнака), [1]. Для каждого т 1 существует плоская действительная алгебраич. кривая с этим наибольшим числом компонент - М-к ривая (о способах построения M-кривых см. [1], [2], [3], об обобщении этих результатов на пространственные кривые см. [2]). Д. Гильберт (D. Hilbert) в 1900 поставил задачу изучения топологии Д. а. Для плоской действительной алгебраич. кривой Ачетного порядка т 1 выполняется точное неравенство [img: http://localhost:8080/file/020507-64.jpg] где Р- число четных овалов кривой А, а N- число ее нечетных овалов (теорема Петровского). Если т 1 нечетно, то аналогичное неравенство выполнено для [img: http://localhost:8080/file/020507-65.jpg] где L- прямая в общем положении [4]. При обобщении этих результатов на случай действительной алгебраич. гиперповерхности четного порядка роль разности Р-Nиграет эйлерова характеристика c(В +), где [img: http://localhost:8080/file/020507-66.jpg] если же qнечетно, то роль Р-Nиграет c(А). Так, для действительной алгебраич. гиперповерхности Ачетного порядка т 1 [img: http://localhost:8080/file/020507-67.jpg] где s(g; mx)- число членов многочлена [img: http://localhost:8080/file/020507-68.jpg] степень которых не превосходит [img: http://localhost:8080/file/020507-69.jpg] при нечетном qи любом т 1 [img: http://localhost:8080/file/020507-70.jpg] (см. [5]). Для действительной алгебраической пространственной кривой (в RP3)при четном т 1 выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/020507-71.jpg] (в случае т 1 = 2 эта оценка точная) (см. [6]). Имеются обобщения теорем Петровского на произвольные Д. а. м. (см. [10]). Для плоской действительной алгебраич. M-кривой четного порядка m1 выполняется сравнение [img: http://localhost:8080/file/020507-72.jpg] (см. [8], [9], [13]). При доказательстве этого сравнения (см. [8], [9]) были применены для изучения Д. а. м. методы дифференциальной топологии, в форме стимулирующей дальнейшие исследования. Пусть плоская действительная алгебраич. кривая Аимеет четный порядок т=2k, знак перед р(z)выбран так, что В + ориентируемо, а Р +, Р 0, Р_ обозначают соответственно число овалов кривой А, ограничивающих внешним образом компоненту множества В + с положительной, нулевой и отрицательной эйлеровыми характеристиками. Аналогично, N+,N0, N- - числа таких же нечетных овалов для [img: http://localhost:8080/file/020507-73.jpg] Тогда (см. [8], [13]) [img: http://localhost:8080/file/020507-74.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020507-75.jpg] Для произвольного Д. а. м. в g-мерном проективном пространстве выполнено неравенство [img: http://localhost:8080/file/020507-76.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020507-77.jpg] - пространство гомологии многообразия Ас коэффициентами в Z2 (см. [9]). Это неравенство является обобщением теоремы Гарнака. Если [img: http://localhost:8080/file/020507-78.jpg] (tвсегда целое), то А, наз. (М-t)-многообразием. При t=0 Аесть M-многообразие, Доказаны следующие сравнения: A) Для М-многообразия Апри четном п [img: http://localhost:8080/file/020507-79.jpg] где s(СА)- сигнатура многообразия СА (см. [9]). B) Для (M-1)-многообразия Апри четном п [img: http://localhost:8080/file/020507-80.jpg] (см. обзор [13]). C) В случае регулярного полного пересечения, если п. четно, Аесть (М-1)-многообразие и гомоморфизм включения [img: http://localhost:8080/file/020507-81.jpg] нулевой, то [img: http://localhost:8080/file/020507-82.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/020507-83.jpg] В этом же случае, если пчетно, Аесть (М-2)-многообразие и i*- нулевой, то [img: http://localhost:8080/file/020507-84.jpg] (см. [11]). В частности, для действительной алгебраич. поверхности Апорядка т 1 [img: http://localhost:8080/file/020507-85.jpg] если Аесть М-поверхность, то [img: http://localhost:8080/file/020507-86.jpg] если Аесть (М-1)-поверхность, то [img: http://localhost:8080/file/020507-87.jpg] если Аесть (М-1)-поверхность и стягивается в RP3 в точку, то m1=2mod 4 и [img: http://localhost:8080/file/020507-88.jpg] Если Аесть (М-2)-поверхность и стягивается в RP3 в точку, то [img: http://localhost:8080/file/020507-89.jpg] Доказаны также нек-рые сравнения при нечетном п(см. [9], [13]). В частности, для плоской действительной алгебраич. кривой А, являющейся (М-1)-кривой четного порядка т 1: [img: http://localhost:8080/file/020507-90.jpg] Имеются некоторые результаты о Д. а. м. с особенностями (см. обзор [13]). Интересный подход к изучению Д. а. м. предложен в [14].