Делителей проблемы

- проблемы теории чисел, касающиеся асимптотич. поведения сумматорных функций [img: http://localhost:8080/file/020509-44.jpg] (где t(n) - число делителей п, а tk (п), k>2,- число представлений пв виде произведения кнатуральных чисел), а также модификаций этих функций. Проблема делителей Дирихле - проблема наилучшей оценки остаточного члена D(х)в асимптотич. формуле [img: http://localhost:8080/file/020509-45.jpg] где С- Эйлера постоянная. Асимптотика суммы [img: http://localhost:8080/file/020509-46.jpg] впервые рассмотрена П. Дирихле (P. Dirichlet) в 1849. Он исходил из того, что данная сумма равна числу точек (и, v)с целыми положительными координатами под гиперболой uv=x, и доказал, что [img: http://localhost:8080/file/020509-47.jpg] Эта формула наз. формулой Дирихле числа делителей. Д. п. явилась одной из тех моделей, на к-рых развивались методы оценок числа целых точек в разного рода расширяющихся областях. Пусть q - нижняя грань чисел aв соотношении [img: http://localhost:8080/file/020509-48.jpg] Согласно П. Дирихле, [img: http://localhost:8080/file/020509-49.jpg] Г. Ф. Вороной доказал, что [img: http://localhost:8080/file/020509-50.jpg] Далее последовательно были получены оценки [img: http://localhost:8080/file/020509-51.jpg] Истинный порядок величины D (х)(к 1978) неизвестен. Существует гипотеза, что [img: http://localhost:8080/file/020509-52.jpg] С другой стороны, X. Харди (Н. Hardy) доказал, что q>1/4, или, точнее, [img: http://localhost:8080/file/020509-53.jpg] Кроме того, известна формула [img: http://localhost:8080/file/020509-54.jpg] (А- постоянная), показывающая справедливость "в среднем" гипотезы о порядке (х). Обобщенная проблема делителей - проблема наилучшего асимптотич. выражения, при [img: http://localhost:8080/file/020509-55.jpg] суммы [img: http://localhost:8080/file/020509-56.jpg] в частности, при k=2 [img: http://localhost:8080/file/020509-57.jpg] Обобщенная Д. п. тесно связана с поведением дзета-функции Римана z(s) в критич. полосе значений s. Именно, для нецелого x>0, с>1 имеет место формула [img: http://localhost:8080/file/020509-58.jpg] Здесь подинтегральная функция имеет в точке s= 1 полюс порядка кс вычетом вида хР k(lnх), где Р k -многочлен степени k-1. Пусть [img: http://localhost:8080/file/020509-59.jpg] и пусть gk<g<1, где gk- нижняя грань чисел s, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/020509-60.jpg] Тогда справедливы формула [img: http://localhost:8080/file/020509-61.jpg] и обратная формула Меллина: [img: http://localhost:8080/file/020509-62.jpg] где интеграл существует в смысле среднего квадратичного для [img: http://localhost:8080/file/020509-63.jpg] Оценки остаточного члена Dk (х)в формуле Dk (х)еще далеки (к 1978) от ожидаемых. Пусть ak - наименьшее из чисел а, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/020509-64.jpg] при любом e>0. Известны оценки: [img: http://localhost:8080/file/020509-65.jpg] Имеются уточнения этих оценок для частных значении k: [img: http://localhost:8080/file/020509-66.jpg] Последний результат оценки сверху ak получен в [3] на основе развития идей Виноградова метода:доказано существование такой абсолютной постоянной с>0, что [img: http://localhost:8080/file/020509-67.jpg] Эта оценка есть следствие оценки z(s). в критич. полосе: для 1/2<s<1, |t|>2 существует такая постоянная а>1, что [img: http://localhost:8080/file/020509-68.jpg] С другой стороны, X. Харди (G. Hardy) доказал, что [img: http://localhost:8080/file/020509-69.jpg] Относительно величины Dk(x) существует гипотеза: [img: http://localhost:8080/file/020509-70.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/020509-71.jpg] Однако для ее обоснования недостаточно даже решения Линделёфа гипотезы: [img: http://localhost:8080/file/020509-72.jpg] при любых e>0, s>1/2. Дальнейшее обобщение Д. п. [4]: равномерно относительно целых [img: http://localhost:8080/file/020509-73.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/020509-74.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020509-75.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020509-76.jpg] Проблема делителей в арифметических прогрессиях -проблема равномерных относительно х, d, [img: http://localhost:8080/file/020509-77.jpg] (l, d)=1, оценок сумм [img: http://localhost:8080/file/020509-78.jpg] Эти суммы изучались на основе аналитич. методов теории L-функций и важны для многих проблем теории чисел (см. [7]). В простейшем случае (m=1) для них получены асимптотич. выражения: [img: http://localhost:8080/file/020509-79.jpg] При любом [img: http://localhost:8080/file/020509-80.jpg] и к=2 найден (см. [9]) истинный порядок роста [img: http://localhost:8080/file/020509-81.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/020509-82.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020509-83.jpg] В общем случае доказано [10j, что [img: http://localhost:8080/file/020509-84.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020509-85.jpg] - ожидаемый главный член роста, М- положительная сколь угодно большая постоянная, e>0 - любое число. Последнее неравенство, в частности, показывает, что суммы Dk(m) (х; d, l)при любых целых [img: http://localhost:8080/file/020509-86.jpg] "в среднем" имеют один и тот же главный член роста для всех примитивных арифметич. прогрессий разности [img: http://localhost:8080/file/020509-87.jpg]