Дена лемма

пусть в трехмерном многообразии Мрасположена двумерная клетка Dс самопересечениями, имеющая границей простую замкнутую полигональную кривую Сбез особых точек; тогда существует двумерная клетка D0 с границей С, кусочно линейно вложенная в М. Д. л. приведена в [1], однако доказательство ее содержало пробелы; полное обоснование дано в [2]. С Д. л. связан результат, наз. теоремой о петле: пусть М- компактное трехмерное многообразие и N-одна из компонент его края; если ядро гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/020510-11.jpg] нетривиально, то существует простая петля на N, к-рая не гомотопна нулю па N и гомотопна нулю в М. Теорема о петле и Д. л. обычно применяются совместно. Они могут быть объединены в следующую теорему: если М- трехмерное многообразие с краем Nи ядро гомоморфизма включения [img: http://localhost:8080/file/020510-12.jpg] нетривиально, то в Мсуществует кусочно линейно вложенный двумерный диск D, край к-рого лежит на Nи не стягиваем на N. К этим теоремам примыкает теорема о сфере, являющаяся вместе с Д. л. и теоремой о петле одним из основных средств топологии трехмерных многообразий: если М- ориентируемое трехмерное многообразие с [img: http://localhost:8080/file/020510-13.jpg] то в Мсуществует подмногообразие 2, гомеоморфное двумерной сфере, к-рое не гомотопно нулю в М. Эти результаты имеют многочисленные применения в топологии трехмерных многообразий и, в частности, в теории узлов. Так, если К- узел, то [img: http://localhost:8080/file/020510-14.jpg] изоморфно Zтогда и только тогда, когда К- тривиальный узел. Для и-компонентного зацепления Lв S3 следующие условия равносильны: 1) [img: http://localhost:8080/file/020510-15.jpg] 2) [img: http://localhost:8080/file/020510-16.jpg] есть свободное произведение двух нетривиальных групп; 3) в [img: http://localhost:8080/file/020510-17.jpg] существует такое подмногообразие N, гомеоморфное двумерной сфере, что обе компоненты [img: http://localhost:8080/file/020510-18.jpg] содержат точки из L. В частности, если L - узел (т. е. в= 1), то [img: http://localhost:8080/file/020510-19.jpg] (теорема об асферичности узлов).