Дженкинса теорема

общая теорема о коэффициентах,- теорема теории однолистных конформных отображений семейств областей на римановой поверхности, содержащая неравенство для коэффициентов отображающих функций, а также условия на функции, для к-рых это неравенство обращается в равенство. Д. т. является точным выражением и развитием (высказанного без доказательства) принципа Тейхмюллера (см. [1], с. 83), согласно к-рому решение нек-рого класса экстремальных проблем для однолистных функций определяется квадратичными дифференциалами соответствующего вида. Получена Дж. Дженкинсом (1954, см. [1] - [4]). Условия Д. т. Пусть [img: http://localhost:8080/file/020512-77.jpg] - конечная ориентированная риманова поверхность, Q(z)dz2- положительный квадратичный дифференциал на [img: http://localhost:8080/file/020512-78.jpg] имеющий хотя бы один полюс порядка [img: http://localhost:8080/file/020512-79.jpg] и пусть Р 1,..., Р r- все полюсы порядка 2, а Р r+1,..., Р р- все полюсы порядка >2. Пусть открытое всюду плотное на [img: http://localhost:8080/file/020512-80.jpg] множество D представляет собой дополнение к объединению конечного числа замыканий траекторий и замыканий дуг траекторий, причем [img: http://localhost:8080/file/020512-81.jpg] /=1,..., р. Пусть функция f0(P)отображает Д конформно и однолистно в [img: http://localhost:8080/file/020512-82.jpg] и пусть существует гомотопия [img: http://localhost:8080/file/020512-83.jpg] отображения f0(P)в тождественное отображение f1(P)=Р, оставляющая неподвижными все полюсы из D и удовлетворяющая условию [img: http://localhost:8080/file/020512-84.jpg] для каждого полюса [img: http://localhost:8080/file/020512-85.jpg] и всякой точки [img: http://localhost:8080/file/020512-86.jpg] Пусть zj=zj(P).- такой локальный параметр для полюса Pj, что zj(Pj)= [img: http://localhost:8080/file/020512-87.jpg], j=1,..., р. Пусть, при j=1,..., рв окрестности полюса Pj, [img: http://localhost:8080/file/020512-88.jpg] где nj- целая часть числа [img: http://localhost:8080/file/020512-89.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/020512-90.jpg] и пусть d(Pj)=0 для всех j>r, для которых Pj лежит на границе полосообразной области относительно Q(z)dz2. Пусть, наконец, [img: http://localhost:8080/file/020512-91.jpg] Утверждение Д. т. При этих условиях [img: http://localhost:8080/file/020512-92.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020512-93.jpg] Д. т. для случаяравенства. Если в (*) имеет место знак равенства, то: а) в каждой области Dl МD отображение f0 является изометрией в Q-метрике [img: http://localhost:8080/file/020512-94.jpg] каждая траектория Q(z)dz2 в D переходит в траекторию, и множество f0(D) всюду плотно R; б) для того чтобы f0 было тождественным отображением в нек-рой области [img: http://localhost:8080/file/020512-95.jpg] достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих дополнительных условий: 1) в Dl имеется такой полюс Pj, j>r, порядка mj, что as(j)=0 для s<min{nj+1, mj-3}; 2) в Dl имеется полюс Pj, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/020512-96.jpg] и а (j)=1; 3) в Dl имеется точка траектории, оканчивающейся в простом полюсе. Если в (*) имеет место равенство и если |a(j)| неравно 1 при нек-ром [img: http://localhost:8080/file/020512-97.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/020512-98.jpg] конформно эквивалентно сфере, a Q(z)dz2 не имеет нулей и простых полюсов, и r=р = 2. Если, к тому же, D есть область, то отображение f0 конформно эквивалентно линейному преобразованию, неподвижными точками к-рого служат образы обоих полюсов. Экстремальной метрики метод, лежащий в основе доказательства Д. т., был с надлежащими модификациями использован Дж. Дженкинсом также для получения ряда других результатов, в частности так наз. специальной теоремы о коэффициентах (см. [4]). Дополнение и развитие Д. т. см. в [5].