Дзета-функция

z-ф у нкция, - 1) Д.-ф. в теории чисел - класс аналитич. функций комплексного переменного, состоящий из z-функции Римана, ее обобщений и аналогов. Д.-ф. и их обобщения в виде L-функций (см. Дирихле L-функции)лежат в основе современной аналитич. теории чисел. Кроме z-функции Римана выделяются обебщенная Д.-ф. z(s, a), дзета-функция Дедекинда, конгруэнц Д.-ф. и др. Дзета-функция Римана определяется рядом Дирихле [img: http://localhost:8080/file/020512-102.jpg] абсолютно и равномерно сходящимся в любой конечной области комплексной s-плоскости, для к-рой [img: http://localhost:8080/file/020512-103.jpg] d>0. При s>1 справедливо представление в виде произведения Эйлера [img: http://localhost:8080/file/020512-104.jpg] где рпробегает все простые числа. Тождественность ряда (1) и произведения (2) представляет собой одно из основных свойств функции z(s). Оно позволяет получить многочисленные соотношения, связывающие z(s)с важнейшими теоретико-числовыми функциями. Так, при s>1 [img: http://localhost:8080/file/020512-105.jpg] где (х)- число простых чисел [img: http://localhost:8080/file/020512-106.jpg] - Мангольдта функция,m(n).- Мёбиуса функция,t(п) - число делителей числа га, v(n) - число простых делителей числа п,l(n) - Лиувилля функция. Отсюда та исключительная роль, к-рую играет z(s) в теории чисел. Как функция действительного переменного, z(s). была введена в 1737 Л. Эйлером (L. Euler, см. [1]), к-рый указал и ее разложение в произведение (2). Затем эта функция рассматривалась П. Дирихле (P. Dirichlet) и, особенно успешно, П. Л. Чебышевым (см. [2]) в связи с изучением закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства функции z(s). были обнаружены позднее, когда ее стали рассматривать как функцию комплексного переменного. Первым это сделал в 1876 Б. Риман (В. Riemann, см. [3]), к-рый показал следующее. а) z(s) допускает аналитич. родолжение на всю комплексную s-плоскость в виде [img: http://localhost:8080/file/020512-107.jpg] где Г(w) - гамма-функция, [img: http://localhost:8080/file/020512-108.jpg] б) z(s) является регулярной функцией для всех значений s, кроме s=l, где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1, и удовлетворяет функциональному уравнению [img: http://localhost:8080/file/020512-109.jpg] Это уравнение наз. функциональным уравнением Римана. Для функции [img: http://localhost:8080/file/020512-110.jpg] введенной Б. Риманом для исследования Д.-ф. и называемой кси-функцией Риман а, это уравнение принимает вид [img: http://localhost:8080/file/020512-111.jpg] а если положить [img: http://localhost:8080/file/020512-112.jpg] то оно принимает вид [img: http://localhost:8080/file/020512-113.jpg] Последняя функция.3 замечательна тем, что она является четной целой функцией, действительной для действительных t, и ее нули на действительной оси соответствуют нулям функции z(s) на прямой 0=1/2. в) Поскольку [img: http://localhost:8080/file/020512-114.jpg] для s>1, то в силу (4) в полуплоскости s>0 эта функция имеет лишь простые нули в точках s=2v, v=l, 2,... Эти нули наз. тривиальными нулями Д.-ф. z(s). Далее z(s) неравно 0 для 0<s<1. Таким образом, все нетривиальные нули Д.-ф. z(s). являются комплексными числами, обладают свойством симметрии относительно действительной оси i=0 и относительно вертикали s=1/2 и лежат в полосе [img: http://localhost:8080/file/020512-115.jpg] к-рая наз. критической полосой. продолжение Дзета-функция... Б. Риман высказал также следующие гипотезы. 1.Число N(T)нулей функции z(s). в прямоугольнике [img: http://localhost:8080/file/020513-10.jpg] 0<i<T выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/020513-11.jpg] 2.Пусть р пробегает нетривиальные нули z(s). Тогда ряд [img: http://localhost:8080/file/020513-12.jpg] сходится, а ряд [img: http://localhost:8080/file/020513-13.jpg] расходится. 3. Функция z(s) представима в виде [img: http://localhost:8080/file/020513-14.jpg] 4. Пусть [img: http://localhost:8080/file/020513-15.jpg] Тогда при [img: http://localhost:8080/file/020513-16.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020513-17.jpg] где Их- интегральный логарифм, [img: http://localhost:8080/file/020513-18.jpg] 5. Все нетривиальные нули Д.-ф. z(s) лежат на прямой [img: http://localhost:8080/file/020513-19.jpg] После Б. Римана проблема значений и, в частности, нулей Д.-ф. приобрела широкую известность и ей посвящено большое число исследований. Гипотезы Римана 2 и 3 были доказаны Ж. Адамаром (J. Hadamard, 1893), причем оказалось, что в гипотезе 3 a=1/2, b = ln2+ + [img: http://localhost:8080/file/020513-20.jpg] lnp-1- [img: http://localhost:8080/file/020513-21.jpg], где С- Эйлера постоянная;гипотезы 1 и 4 доказаны X. Мангольдтом (Н. Mangoldt, 1894), к-рый, кроме того, получил, для простых чисел, следующий важный аналог формулы 5. Если [img: http://localhost:8080/file/020513-22.jpg] то при [img: http://localhost:8080/file/020513-23.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020513-24.jpg] где r=b+ig пробегает нетривиальные нули z(s), a символ [img: http://localhost:8080/file/020513-25.jpg] означает предел суммы [img: http://localhost:8080/file/020513-26.jpg] при T стремящимся к бесконечности. Эта формула, как и формула (5), показывает, что проблема распределения простых чисел в натуральном ряду тесно связана с расположением нетривиальных нулей функции z(s). Последняя гипотеза 5 не доказана и не опровергнута. Это - знаменитая Римана гипотеза о нулях Д.-Ф. Функция z(s)однозначно определяется своим функциональным уравнением. Точнее (см. [4]), любая функция, представимая обыкновенным рядом Дирихле и удовлетворяющая уравнению (4), при довольно широких условиях относительно ее регулярности, совпадает с z(s) с точностью до постоянного множителя. При [img: http://localhost:8080/file/020513-27.jpg] и постоянном h>0 для 0<s<1, x>h, y>h, 2pxy=|t| имеет место приближенное функциональное уравнение [img: http://localhost:8080/file/020513-28.jpg] полученное X. Харди (Н. Hardy) и Дж. Литлвудом (J. Littlewood) в 1920 (см. [4]). Это уравнение играет значительную роль в современной теории Д.-ф. и ее приложениях. Существуют общие методы получения такого рода результатов не только для класса Д.-ф., но и вообще функций Дирихле, обладающих функциональным уравнением риманова типа (3). Наиболее совершенный из них указан в [5]; в случае z(s)он приводит, при любом t с |argt|<p/2, к соотношению [img: http://localhost:8080/file/020513-29.jpg] где F(z, x)- неполная гамма-функция;при [img: http://localhost:8080/file/020513-30.jpg] получается приближенное уравнение (6); при t=1 это соотношение совпадает с исходной формулой (3). Главной проблемой в теории Д.-ф. является проблема расположения ее нетривиальных нулей и вообще значений в области [img: http://localhost:8080/file/020513-31.jpg] К числу основных направлений в исследованиях Д.-ф. относятся: определение возможно более широкой области слева от прямой s= 1, где [img: http://localhost:8080/file/020513-32.jpg] проблема порядка и средних значений Д.-ф. в критич. полосе; оценки числа нулей Д.-ф. на прямой s= 1/2 и вне этой прямой и т. д. Первый нетривиальный результат о границе нулей Д.-ф. был получен Ш. Ж. Балле Пуссеном (Ch. J. La Vallee-Poussin) в 1896; он показал, что существует такая постоянная А>0, что [img: http://localhost:8080/file/020513-33.jpg] Дальнейшие продвижения в этом направлении связаны с приближенным уравнением (6) и развитием методов оценок тригонометрия, сумм. Самый мощный метод оценок такого рода принадлежит И. М. Виноградову (см. Виноградова метод). Последняя (к 1978) граница области, свободной от нулей Д.-ф., получена И. М. Виноградовым в 1958 (см. [7]). Она имеет вид (7) с [img: http://localhost:8080/file/020513-34.jpg] Для простых чисел ей соответствует формула [img: http://localhost:8080/file/020513-35.jpg] Существует определенная связь между ростом модуля функции z(s) и отсутствием нулей в окрестности прямой s=1. Так, результат (7) с [img: http://localhost:8080/file/020513-36.jpg] является следствием оценок [img: http://localhost:8080/file/020513-37.jpg] С другой стороны, известно (см. [4]), что [img: http://localhost:8080/file/020513-38.jpg] и, если верна гипотеза Римана, то эти пределы, соответственно, не больше, чем 2е С и [img: http://localhost:8080/file/020513-39.jpg] Порядок дзета-функции в критической полосе есть число h(s), означающее нижнюю границу таких чисел v, что z(s+it) = O(|t|v). При s>1, h(s)=0, a при s<0 имеет место [img: http://localhost:8080/file/020513-40.jpg] Точные значения функции h(а)для [img: http://localhost:8080/file/020513-41.jpg] неизвестны. Простейшее предположение - Линделёфа гипотеза- состоит в том, что [img: http://localhost:8080/file/020513-42.jpg] Это эквивалентно утверждению, что [img: http://localhost:8080/file/020513-43.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/020513-44.jpg] справедлива оценка [img: http://localhost:8080/file/020513-45.jpg] Последняя известная (к 1978) оценка z(s) на прямой [img: http://localhost:8080/file/020513-46.jpg] (см. [4]) далека от ожидаемой оценки (8); она имеет вид [img: http://localhost:8080/file/020513-47.jpg] Проблема среднего значения дзета-функции состоит в определении свойств функции [img: http://localhost:8080/file/020513-48.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/020513-49.jpg] для любого заданного s и k=1, 2,... Результаты имеют приложения при изучении проблемы нулей Д.-ф. и непосредственно в теории чисел. Доказано, что (см. [4]) [img: http://localhost:8080/file/020513-50.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/020513-51.jpg] (см. [4]) [img: http://localhost:8080/file/020513-52.jpg] В случаях k>2 известно только, что при [img: http://localhost:8080/file/020513-53.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020513-54.jpg] где tk(n) - число представлений п в виде кцелых положительных сомножителей, и что асимптотич. соотношение [img: http://localhost:8080/file/020513-55.jpg] для s>1/2 является эквивалентом гипотезы Линделёфа. Важное место в теории Д.-ф. занимает проблема оценки функции N(s, T), означающей число нулей b+ig функции z(s) при b>s, [img: http://localhost:8080/file/020513-56.jpg] В основе современных оценок N (s, Т)лежат теоремы о выпуклости средних значений аналитич. функций, применяемые к функции [img: http://localhost:8080/file/020513-57.jpg] Если для нек-poro Х=Х(s, Т), [img: http://localhost:8080/file/020513-58.jpg] I [img: http://localhost:8080/file/020513-59.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/020513-60.jpg] равномерно для s>a, где l(s).- положительная невозрастающая функция с ограниченной производной, а [img: http://localhost:8080/file/020513-61.jpg] - постоянная, то [img: http://localhost:8080/file/020513-62.jpg] равномерно для [img: http://localhost:8080/file/020513-63.jpg] Известно также, что если при [img: http://localhost:8080/file/020513-64.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020513-65.jpg] то равномерно для [img: http://localhost:8080/file/020513-66.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020513-67.jpg] Эти два предложения позволили получить (см. [4]) следующие плотностные теоремы о нулях дзета-функции: равномерно для [img: http://localhost:8080/file/020513-68.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020513-69.jpg] с привлечением иных соображений в [8] получена плотностная теорема: [img: http://localhost:8080/file/020513-70.jpg] если справедлива гипотеза Линделёфа, то [img: http://localhost:8080/file/020513-71.jpg] О нулях дзета-функции на прямой [img: http://localhost:8080/file/020513-72.jpg] По гипотезе Римана, все нетривиальные нули Д.-ф. лежат на прямой [img: http://localhost:8080/file/020513-73.jpg] Тот факт, что на. этой прямой Д.-ф. имеет бесконечно много нулей, впервые был доказан X. Харди в 1914 (см. [4]) на основе формулы Рамануджана [img: http://localhost:8080/file/020513-74.jpg] Последний результат принадлежит А. Сельбергу (A. Selberg, 1942; см. [4]): число N0(T)нулей z(s), имеющих вид [img: http://localhost:8080/file/020513-75.jpg] удовлетворяет неравенству [img: http://localhost:8080/file/020513-76.jpg] Это означает, что число нулей Д.-ф. на прямой s=1/2 имеет тот же порядок роста, что и число всех ее нетривиальных нулей: [img: http://localhost:8080/file/020513-77.jpg] Относительно нулей Д.-ф. на этой прямой известны и другого рода результаты. Приближенное функциональное уравнение позволяет фактически вычислить (с нек-рой степенью точности) значения ближайших к действительной оси нулей z(s). На основе этого метода на ЭВМ вычислены нули z(s) в прямоугольнике [img: http://localhost:8080/file/020513-78.jpg]. Их число равно 3,5.106, и все они лежат на прямой [img: http://localhost:8080/file/020513-79.jpg] Ординаты первых шести нулей с точностью до второго десятичного знака равны 14,13; 21,02; 25,01; 30,42; 32,93; 37,58. Вообще, расстояние между соседними нулями z(s) оценивается теоремой Литлвуда (1924): для любого достаточно большого Тфункция z(s) имеет такой нуль b+ig, что [img: http://localhost:8080/file/020513-80.jpg] Обобщенная дзета-функция определяется для 0<a<1 рядом [img: http://localhost:8080/file/020513-81.jpg] При a=1 она обращается в дзета-функцию Римана. Аналитическое продолжение на всю плоскость осуществляется формулой [img: http://localhost:8080/file/020513-82.jpg] где интеграл берется по контуру L, представляющему собой путь из бесконечности по верхнему краю разреза положительной действительной оси до нек-рого фиксированного 0<r<2p, затем вдоль окружности радиуса rпротив часовой стрелки и снова в бесконечность по нижнему краю разреза. Функция z(s, а)регулярна всюду, кроме точки s=l, где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1. Она играет важную роль в теории L-функций Дирихле (см. [9], [10]). Дзета-функция Дедекинда - аналог дзета-функции Римана для полей алгебраич. чисел, введенный Р. Дедекиндом (см. [11]). Пусть К- поле алгебраических чисел степени n=r1+2r2>1, где r1- число действительных, r2- число пар комплексно сопряженных полей в k;пусть далее D - дискриминант, h- число классов дивизоров, R-регулятор поля к, g- число содержащихся в ккорней из 1. Дзета-функция Дедекинда zk(s)поля k. определяется рядом [img: http://localhost:8080/file/020513-83.jpg] где U пробегает все целые отличные от нуля дивизоры поля к, [img: http://localhost:8080/file/020513-84.jpg] - норма дивизора U. Этот ряд абсолютно и равномерно сходится при [img: http://localhost:8080/file/020513-85.jpg] d>0, определяя аналитич. функцию, регулярную в полуплоскости s>1. При s>1 будет [img: http://localhost:8080/file/020513-86.jpg] где f(m) - число целых дивизоров поля kс нормой m, [img: http://localhost:8080/file/020513-87.jpg] t п (т)- число представлений тв виде пнатуральных сомножителей. При s>1 имеет [img: http://localhost:8080/file/020513-88.jpg] место тождество Эйлера где B пробегает все простые дивизоры поля k. Основные свойства дзета-функции Дедекинда (см. [11]). 1) zk(s) регулярна на всей комплексной плоскости, кроме точки s=l, где она имеет простой полюс с вычетом [img: http://localhost:8080/file/020513-89.jpg] 2) zk(s) удовлетворяет функциональному уравнению [img: http://localhost:8080/file/020513-90.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020513-91.jpg] 3) При r=r1+r2-1>0 в точке s=0 функция zk(s)имеет нуль порядка r; [img: http://localhost:8080/file/020513-92.jpg] при r=0; в точках s=- 2v, v=l, 2,..., дзета-функция Дедекинда zk(s) имеет нули порядка r+1, в точках s=-2v-1 при r2>0 - нули порядка r2, а при r2=0 не равна нулю. Это - тривиальные нули функции zk(s). 4) Все остальные нули функции zk(s) лежат в критич. полосе [img: http://localhost:8080/file/020513-93.jpg] Основная гипотеза состоит в том, что все нетривиальные нули функции zk(s) находятся на прямой s=1/2. Установлено, что zk(s) не имеет нулей на прямой s=1. Более того, существует абсолютная положительная постоянная Аи зависящая от параметров поля кпостоянная X, обладающие тем свойством, что [img: http://localhost:8080/file/020513-94.jpg] Вообще, в случае фиксированных параметров поля кдля zk(s) имеют место многие результаты, аналогичные результатам для дзета-функции Римана. Однако в общем случае теория дзета-функции Дедекинда сложнее, поскольку она включает в себя и теорию Дирихле L-функций. Так, неизвестно (1978), имеют ли дзета-функции Дедекинда действительные нули между 0 и 1. Точная зависимость между дзета-функцией Дедекинда и L-рядами рационального поля имеет следующий вид. Пусть k*- минимальное поле Галуа, к-рому принадлежит к, Q- группа Галуа поля к*, h- число классов группы Q,ci- простые характеры группы Q, [img: http://localhost:8080/file/020513-95.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/020513-96.jpg] где z(s) - дзета-функция Римана, Lсуть L-ряды Артина, ci=ci(k)- целые положительные числа, к-рые определяются свойствами относительной группы Галуа поля к*. В частности, если к- круговое расширение, то k* = k, h=j(n), ci=1, и L-ряды Артина становятся обычными L-рядами Дирихле. Наряду с дзета-функцией Дедекинда zk(s) рассматриваются и zk(s; Hj) - дзета-функции Дедекинда класса дивизоров Hj поля к. Эти функции определяются теми же рядами, что и zk(s), но только [img: http://localhost:8080/file/020513-97.jpg] пробегает не все, а лишь целые дивизоры, к-рые принадлежат заданному классу Hj. Функции zk(s; Hj)обладают свойствами, близкими свойствам zk(s). Справедлива формула [img: http://localhost:8080/file/020513-98.jpg] Дзета-функции Дедекинда лежат в основе современной аналитич. теории дивизоров полей алгебраич. чисел. Здесь они играют такую же роль, какую играет дзета-функция Римана в теории чисел рационального поля. Аналогом дзета-функции Дедекинда для полей алгебраич. функций от одного переменного с конечным полем констант является конгруэнц дзета-функция, или дзета-функция Артина- Шмидта (см. ниже Дзета-функция в алгебраической геометрии).