Динамическая игра

- разновидность позиционных игр, характеризующаяся тем, что в такой игре игроки управляют "движением точки" в пространстве состояний X. Пусть I= {i}- множество игроков. Каждой точке [img: http://localhost:8080/file/020516-36.jpg] соответствует множество Si(x) элементарных стратегий игрока [img: http://localhost:8080/file/020516-37.jpg] в этой точке и тем самым - множество [img: http://localhost:8080/file/020516-38.jpg] элементарных ситуаций в х. На Xзаданы переходные функции распределения [img: http://localhost:8080/file/020516-39.jpg] представляющие собой закон движения управляемой точки, известный каждому из игроков. Функция Fпри фиксированном хь измерима по всем остальным аргументам. Последовательность Рчередующихся состояний и элементарных ситуаций х 1, s(x1),..., х k, s(xk),... наз. партией общей Д. и.; она определяется индуктивно по следующей схеме: пусть уже определен отрезок партии (дебют) х 1, s(x1),..., х k-1 [img: http://localhost:8080/file/020516-40.jpg], и каждый игрок iвыбирает свою элементарную стратегию [img: http://localhost:8080/file/020516-41.jpg] так что складывается элементарная ситуация s(xk-1); тогда игра переходит случайно, в соответствии с распределением F(Х|x1, s(x1),..., х k-1,s(xk-1)), в состояние х k. На каждой партии Ропределен выигрыш hi(P)игрока i. Если множество всех партий обозначить [img: http://localhost:8080/file/020516-42.jpg] то Д. и. задается системой [img: http://localhost:8080/file/020516-43.jpg] Обычно в Д. и. считается, что к очередному моменту выбора элементарной стратегии игроки знают предшествующий дебют. В этом случае чистая стратегия si игрока iесть набор функций s(x)(х 1, s(x1),..., s(xk-1), х), ставящих в соответствие заканчивающемуся в хдебюту элементарную стратегию [img: http://localhost:8080/file/020516-44.jpg] Рассматривались также Д. и., в к-рых игрокам известен не весь предшествующий дебют, напр, игры с "запаздыванием информации". Для того чтобы игра была определена, необходимо, чтобы каждая ситуация s= {si} индуцировала вероятностную меру ms на множестве всех партий и чтобы для каждого iсуществовало математич. ожидание Ehi(P)по мере ms. Это математич. ожидание и представляет собой выигрыш игрока iв ситуации s. Функции hi(P), вообще говоря, произвольны; однако более других изучались Д. и. либо с терминальным выигрышем (игра заканчивается, как только х k оказывается в терминальном множестве [img: http://localhost:8080/file/020516-45.jpg] и hi{P)=hi(xk), где х k- последнее состояние в игре), либо синтегральным выигрышем [img: http://localhost:8080/file/020516-46.jpg] Д. и. могут рассматриваться как игровой вариант задачи оптимального управления с дискретным временем, к каковой они и сводятся, если число игроков равно одному. Если в Д. и. [img: http://localhost:8080/file/020516-47.jpg] дискретное время заменяется на непрерывное, а случайные факторы устраняются, то получают дифференциальную игру, к-рая, таким образом, может рассматриваться как разновидность Д. и. Частными классами Д. и. являются стохастические игры, рекурсивные игры и игры на выживание.