Дирихле ряд

- функциональный ряд вида [img: http://localhost:8080/file/020521-7.jpg] где а п -комплексные коэффициенты; l п, 0< [img: http://localhost:8080/file/020521-8.jpg] -показатели Д. p., s= s+ it - комплексное переменное. При ln=ln пполучается так наз. обыкновенный ряд Дирихле [img: http://localhost:8080/file/020521-9.jpg] Ряд [img: http://localhost:8080/file/020521-10.jpg] представляет для s>1 дзета-функцию Римана. Ряды [img: http://localhost:8080/file/020521-11.jpg] где х(п)- функция, наз. Дирихле характером, изучались П. Дирихле (см. Дирихле L-функция). Ряды (1) с произвольными показателями l п наз. общими рядами Дирихле. Общие ряды Дирихле с положительными показателями. Пусть сначала l п- положительные числа. Имеет место аналог Абеля теоремы для степенных рядов: если ряд (1) сходится в точке s0=s0+it0, то он сходится в полуплоскости s>s0, причем внутри любого угла |arg(s-s0)| <j0<p/2 сходится равномерно. Открытая область сходимости ряда есть нек-рая полуплоскость s>с. Число с наз. абсциссой сходимости Д. р., прямая s= с- прямой сходимости Д. р., полуплоскость s>с - полуплоскостью сходимости Д. р. Наряду с полуплоскостью сходимости рассматривается полуплоскость абсолютной сходимости Д. р.: s>а - открытая область, в к-рой ряд сходится абсолютно (при этом а- абсцисса абсолютной сходимости). Абсциссы сходимости и абсолютной сходимости, вообще говоря, различны; всегда [img: http://localhost:8080/file/020521-12.jpg] причем имеются Д. р., для к-рых а-c=d. В случав d=0 для вычисления абсциссы сходимости (абсциссы абсолютной сходимости) имеется формула [img: http://localhost:8080/file/020521-13.jpg] представляющая собой аналог формулы Коши - Адамара. Случай d>0 сложнее: если величина [img: http://localhost:8080/file/020521-14.jpg] положительна, то с=b; если [img: http://localhost:8080/file/020521-15.jpg] и ряд (1) в точке s=0 расходится, то с=0; если [img: http://localhost:8080/file/020521-16.jpg] и ряд (1) в точке s=0 сходится, то [img: http://localhost:8080/file/020521-17.jpg] Сумма ряда F(s)в полуплоскости сходимости есть аналитич. функция. При [img: http://localhost:8080/file/020521-18.jpg] функция F(s). ведет себя асимптотически как первый член ряда: а 1 е -l1s (если а неравно 0). Если сумма ряда равна нулю, то и все коэффициенты ряда равны нулю. Максимальная полуплоскость s>h, в к-рой F(s)является аналитич. функцией, наз. полуплоскостью голоморфности функции F(s), прямая s =h наз. прямой голоморфности. Справедливо неравенство h<с, причем возможны случаи, когда h<с. Пусть q- нижняя грань таких чисел b, что в полуплоскости s>b функция F(s)по модулю ограничена (q<а). Имеет место формула [img: http://localhost:8080/file/020521-19.jpg] из к-рой вытекают неравенства [img: http://localhost:8080/file/020521-20.jpg] представляющие собой аналог неравенств Коши для коэффициентов степенного ряда. Сумма Д. р. не может быть произвольной функцией, аналитической в какой-либо полуплоскости s>h: она, напр., должна стремиться к нулю при [img: http://localhost:8080/file/020521-21.jpg] Однако имеет место следующий факт: какова бы ни была функция j(s), аналитическая в полуплоскости s>h, найдется такой Д. р. (1), что его сумма F(s)будет отличаться от j(s) на целую функцию. Если последовательность показателей имеет плотность [img: http://localhost:8080/file/020521-22.jpg] то разность между абсциссой сходимости (абсциссы сходимости и абсолютной сходимости совпадают) и абсциссой голоморфности не превосходит величины [img: http://localhost:8080/file/020521-23.jpg] причем имеются ряды, для к-рых эта разность равна 6. Величина d может быть любой из [img: http://localhost:8080/file/020521-24.jpg] в частности, если [img: http://localhost:8080/file/020521-25.jpg] n=1, 2,..., то d=0. Прямая голоморфности обладает тем свойством, что на ней в любом отрезке длины 2pt у суммы ряда имеется хотя бы одна особенность. Если Д. р. (1) сходится во всей плоскости, то его сумма F(s)есть целая функция. Пусть [img: http://localhost:8080/file/020521-26.jpg] R- порядком целой функции F(s) (порядком по Ритту) наз. величина [img: http://localhost:8080/file/020521-27.jpg] Через коэффициенты ряда она выражается по формуле [img: http://localhost:8080/file/020521-28.jpg] Можно также ввести понятие R-т ипа функции F(s). Если [img: http://localhost:8080/file/020521-29.jpg] и если в горизонтальной полосе ширины, большей 2pt, функция F(s)по модулю ограничена, то F(s)=0 (аналог Лиувилля теоремы). Ряды Дирихле с комплексными показателями. У Д. р. [img: http://localhost:8080/file/020521-30.jpg] (2) с комплексными показателями [img: http://localhost:8080/file/020521-31.jpg] открытая область абсолютной сходимости выпукла. Если [img: http://localhost:8080/file/020521-32.jpg] то открытые области сходимости и абсолютной сходимости совпадают. Сумма F(s)ряда (2) в области сходимости есть аналитич. функция. Область регулярности функции F(s), вообще говоря, шире области сходимости Д. р. (2). При условии [img: http://localhost:8080/file/020521-33.jpg] область регулярности выпукла. Пусть [img: http://localhost:8080/file/020521-34.jpg] L(X)- какая-нибудь целая функция экспоненциального типа, к-рая в точках l п, [img: http://localhost:8080/file/020521-35.jpg] имеет простые нули, y(t)- функция, ассоциированная по Борелю с L(X) (см. Бореля преобразование), D- наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все особенности функции y(t), и [img: http://localhost:8080/file/020521-36.jpg] Тогда функции yn(t) регулярны вне [img: http://localhost:8080/file/020521-37.jpg] и они обладают свойством биортогональности к системе {еlns }: [img: http://localhost:8080/file/020521-38.jpg] где С- замкнутый контур, охватывающий [img: http://localhost:8080/file/020521-39.jpg] В том случае, когда yn(t) непрерывны вплоть до границы области [img: http://localhost:8080/file/020521-40.jpg] в качестве Сможно взять границу дD. Произвольной функции F(s), аналитической в D(открытой части области [img: http://localhost:8080/file/020521-41.jpg]) и непрерывной в [img: http://localhost:8080/file/020521-42.jpg] отнесем ряд [img: http://localhost:8080/file/020521-43.jpg] Для данной конечной выпуклой области [img: http://localhost:8080/file/020521-44.jpg] можно построить такую целую функцию ИХ)с простыми нулями l1, l2,..., что для любой функции F(s), аналитической в Dи непрерывной в [img: http://localhost:8080/file/020521-45.jpg] ряд (3) равномерно сходится внутри Dи сходится к F(s). Для функции j(s), аналитической в D(не обязательно непрерывной в [img: http://localhost:8080/file/020521-46.jpg]), можно найти целую функцию нулевого экспоненциального типа [img: http://localhost:8080/file/020521-47.jpg] и функцию F(s), аналитическую в Dи непрерывную в [img: http://localhost:8080/file/020521-48.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/020521-49.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/020521-50.jpg] Представление произвольных аналитич. функций Д. р. в области Dустановлено также в случаях, когда D- вся плоскость или D- выпуклая бесконечная многоугольная область (ограниченная конечным числом прямолинейных отрезков).