Дирихле характер

(mod k) - функция c(п)=c(п; k)на множестве целых чисел, удовлетворяющая условиям: [img: http://localhost:8080/file/020521-112.jpg] Иными словами, Д. х. (mod k)- это арифметич. функции, к-рые не равны тождественно нулю, вполне мультипликативны и периодичны с периодом k. Понятие Д. х. ввел П. Дирихле (P. Dirichlet, см. [1]) в связи с изучением закона распредепения простых чисел в арифметич. прогрессиях. Он же разработал основы теории Д. х. (см. [2] - [8]), исходя из прямого конструктивного построения их. Пусть [img: http://localhost:8080/file/020521-113.jpg] - канонич. разложение k, п- целое взаимно простое с k,(п, k)=1; С=С 0=1, если a=0 или a=1; С=2; С 0=2a-2 если [img: http://localhost:8080/file/020521-114.jpg] С 1=j(р 1a1))..., [img: http://localhost:8080/file/020521-115.jpg] где j -функция Эйлера. Пусть, далее, g, g0,g1..., gr - система индексов числа ппо mod k, т. е. система наименьших неотрицательных целых чисел, удовлетворяющих сравнениям [img: http://localhost:8080/file/020521-116.jpg] где gj- наименьший первообразный корень по mod р jaj; e, e0, e1,...,er - система каких-либо корней из 1 соответственно порядков С, С 0, С 1,..., С r. Функция [img: http://localhost:8080/file/020521-117.jpg] определенная на множестве всех натуральных чисел, наз. характером Дирихле (mod к). Перебирая все возможные значения e, e0, e1,..., er получают [img: http://localhost:8080/file/020521-118.jpg] различных функций c - Д. х. mod к. Характер с e=e0=e1=...=er=1 наз. главным характером; он обозначается c0: [img: http://localhost:8080/file/020521-119.jpg] Для любых натуральных чисел п, l и k: [img: http://localhost:8080/file/020521-120.jpg] если c(п).- Д. х. (mod k), то комплексно сопряженная функция c(п).- также Д. х. (mod k); [img: http://localhost:8080/file/020521-121.jpg] Наименьшее из чисел v, удовлетворяющее равенству cv(n)=c0(n) наз. степенью Д. х. Для v=l существует один такой характер c0. Если v=2, то х(п)может принимать лишь значения 1; 0; -1; такие Д. х. наз. действительными, или квадратичными. Если v>3, до Д. х. наз. комплексным. c(п) наз. четным или нечетным соответственно тому, будет c(-1)=1 или х(-1)=-1- Главные свойства сумм Д. х. выражаются формулами [img: http://localhost:8080/file/020521-122.jpg] где в 1-й формуле ппробегает полную систему вычетов (mod k), а cво 2-й формуле - все j(k) характеров (mod k). При (l, k)= 1 справедлива формула [img: http://localhost:8080/file/020521-123.jpg] наз. свойством ортогональности Д. х. Она является одной из основных формул Д. х., применяемых в разного рода исследованиях арифметич. прогрессий: kv+l,v=0, I, 2,.... В теории и приложениях Д. х. важны также понятия ведущего модуля характера и примитивного характера. Пусть c(n; k) - произвольный неглавный характер (mod k). Если для значений п, удовлетворяющих условию (n, k)=i, число А; является наименьшим периодом c(n; k), то кназ. ведущим, или основным, модулем характера c, а сам характер c - примтивным, или первообразным, характером (mod k). В противном случае существуют единственные число k1>1, делящее k, k1<k и примитивный характер c1 (mod k1)такие, что [img: http://localhost:8080/file/020521-124.jpg] В этом случае c(п; k)наз. непримитивным, или производным, характером c(mod d)и говорят, что c1 индуцирует c. Тем самым многие вопросы о характерах сводятся к таковым для примитивных характеров. Характер c(п; k)является примитивным тогда и только тогда, когда для любого d, делящего k, d<k, существует ас условиями: [img: http://localhost:8080/file/020521-125.jpg] В аналитич. теории широко используются суммы Гаусса, определяемые для c(mod k)равенством [img: http://localhost:8080/file/020521-126.jpg] Для примитивного характера cmod k; [img: http://localhost:8080/file/020521-127.jpg] При этом справедливо разложение c(п)в виде: [img: http://localhost:8080/file/020521-128.jpg] Одной из основных проблем в теории Д. х. является проблема оценки сумм Д. х. c(mod k),c неравноc0: [img: http://localhost:8080/file/020521-129.jpg] Имеет место оценка Виноградова: [img: http://localhost:8080/file/020521-130.jpg] Установлено [7], что [img: http://localhost:8080/file/020521-131.jpg] k- простое число. При M=l, N-k/2 существует (см. [8]) бесконечная последовательность чисел к, являющихся модулями примитивного действительного характера c, для к-poй [img: http://localhost:8080/file/020521-132.jpg] у- Эйлера постоянная. Это асимптотич. равенство показывает, что предыдущие оценки, вообще говоря, существенно усилить нельзя. Однако существует гипотеза Виноградова, согласно к-рой для любого е>0, [img: http://localhost:8080/file/020521-133.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020521-134.jpg] Доказательство этой гипотезы позволило бы решить ряд крупных проблем теории чисел. Теория Д. х. лежит в основе теории Дирихле L-функций и является частным случаем общей теории характеров абелевых групп.