Дирихле z-функция

Дирихле L-pяд, L-p яд, - функция комплексного переменного s=s+it, определяемая для всех Дирихле характеровc.mod d рядом [img: http://localhost:8080/file/020521-74.jpg] Д. L- ф.mod dкак функции действительного переменного s введены в 1837 П. Дирихле (P. Dirichlet, см. [1]) в связи с доказательством бесконечности простых чисел в арифметич. прогрессии dm+l, разность dи первый член lк-рой взаимно простые числа. Они представляют собой естественное обобщение - дзета-функции Римана z(s) на арифметич. прогрессии и служат мощным средством исследований в аналитич. теории чисел (см. [2] - [4]). Ряды (1), наз. Дирихле рядами, абсолютно и равномерно сходятся в любой конечной области комплексной s - плоскости, для к-рой [img: http://localhost:8080/file/020521-75.jpg], g>0. Если c- неглавный характер, то [img: http://localhost:8080/file/020521-76.jpg] В силу ограниченности суммы под знаком интеграла эта формула осуществляет аналитическое продолжение L(s, x)как регулярной функции в полуплоскость s>0. Для любого c.mod dсправедливо представление L(s, x)в виде произведения Эйлера по простым числам р: [img: http://localhost:8080/file/020521-77.jpg] Отсюда, если c=c0- главный характер mod d, то при d=l L(s,c0) = z(s), а для d>l [img: http://localhost:8080/file/020521-78.jpg] Поэтому свойства L(s,c0). на всей комплексной плоскости в основном определяются свойствами z(s). В частности, функция L(s,c0) регулярна для всех s, кроме s=l, где она имеет простой полюс с вычетом d-1j(d), j - функция Эйлера. Если же [img: http://localhost:8080/file/020521-79.jpg] и c* -примитивный характер, к-рый индуцирует характер Xmod d, то [img: http://localhost:8080/file/020521-80.jpg] Тем самым в главном Д. L-ф. с характерами c неравно c0 сводятся к таковым для примитивных характеров. Это свойство Д. L =ф. играет существенную роль, так как многие результаты, касающиеся L(s,c), имеют простой вид лишь для примитивных характеров. В случае примитивного характера cmod dаналитич. продолжение на всю плоскость и функциональное уравнение функции L(s, x)получаются прямым обобщением метода Римана для z(s). Результат, если положить [img: http://localhost:8080/file/020521-81.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/020521-82.jpg] где Г - гамма-функция, [img: http://localhost:8080/file/020521-83.jpg] |e(c)|=1, t(c).- Гаусса сумма,c.- характер, комплексно сопряженный с c. Это равенство наз. функциональным уравнением функции L(s,c). Из него и формул (2) и (4) следует, что функции L(s,c), x(s, c). являются целыми функциями для всех [img: http://localhost:8080/file/020521-84.jpg] Причем, при [img: http://localhost:8080/file/020521-85.jpg] L(s, c) = 0 лишь в точках s=-2v-d, v=0, 1,2,..., и в точках s, где произведение из (4) обращается в нуль; эти точки наз. тривиальными нулями L(s,c). Остальные нули L(s, у)наз. нетривиальными нулями. Для s>1 функция [img: http://localhost:8080/file/020521-86.jpg] Ш. Ж. Валле Пуссен (Ch. J. Vallee-Poussin) показал, что [img: http://localhost:8080/file/020521-87.jpg] так что все нетривиальные нули Д. L-ф. лежат в области 0<s<1, к-рая наз. критической полосой. Распределение нетривиальных нулей, вообще значений L(s,X)в критич. полосе, является важнейшей проблемой теории Д. L-ф., имеющей фундаментальное значение для теории чисел. То, что каждая из функций L(s,c)имеет бесконечно много нетривиальных нулей и что законы распределения простых чисел в арифметич. прогрессиях находятся в прямой зависимости от расположения этих нулей, показывают соответствующие аналоги формул Римана. Именно, пусть N(T,c)- число нулей функции L(s,c)с примитивным c mod dв прямоугольнике 0<s<1 |t|<T, [img: http://localhost:8080/file/020521-88.jpg] Тогда [img: http://localhost:8080/file/020521-89.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/020521-90.jpg] - функция Мангольдта, [img: http://localhost:8080/file/020521-91.jpg] (l, d)=l, [img: http://localhost:8080/file/020521-92.jpg] Тогда по свойству ортогональности характеров [img: http://localhost:8080/file/020521-93.jpg] где суммирование производится по всем характерам X mod d, и для c-примитивного характера c, a=1-d: [img: http://localhost:8080/file/020521-94.jpg] где r=b+ig пробегает нетривиальные нули L(s,c), V- производная Lпо s. Практически более полезны приближенные формулы для y(x; a): для произвольного [img: http://localhost:8080/file/020521-95.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020521-96.jpg] а для х=Хо [img: http://localhost:8080/file/020521-97.jpg] Последняя функция вносит в сумму (6) величину, представляющую главный член. Существует гипотеза, наз. расширенной гипотезой Римана, о том, что все нетривиальные нули Д. L-ф. лежат на прямой s=1/2. Если эта гипотеза справедлива, то для [img: http://localhost:8080/file/020521-98.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020521-99.jpg] и многие другие важные проблемы теории чисел получили бы свое окончательное решение. Однако вопросы, касающиеся расположения нетривиальных нулейД. L-ф. исключительно трудны и в настоящее время (1978) в этом отношении известно сравнительно немного, причем для комплексных характеров получены более сильные результаты,, чем для действительных. Обобщением метода, указанного в 1899 III. Ж. Балле Пуссеном для функции z(s), получена граница нетривиальных нулей L(s,c):. Для комплексного характера X mod dсуществует абсолютная постоянная Стакая, что L(s,c) не имеет нулей в области [img: http://localhost:8080/file/020521-100.jpg] если же c - действительный неглавный характер mod d, то L(s,c) может иметь в этой области самое большое один простой действительный (t=0) нуль, к-рый наз. исключительным нулем L(s,c). Для исключительного нуля b, из формул числа классов квадратичных полей, выведено неравенство [img: http://localhost:8080/file/020521-101.jpg] Последняя известная граница для b указана в 1935К. Эйфелем (С. Siegel): при любом e>0 существует положительное число С(e) такое, что [img: http://localhost:8080/file/020521-102.jpg] Эта оценка имеет однако существенный недостаток, она является неэффективной в том смысле, что по заданному e нельзя оценить численное значение постоянной С(e). Таким же недостатком страдают и теоретико-числовые результаты, вывод к-рых опирается на оценку Зигеля. Вследствие указанных границ для нетривиальных нулей Д. L-ф. и формул (6) - (8) справедлив асимптотич. закон распределения простых чисел в виде: [img: http://localhost:8080/file/020521-103.jpg] где С 1- абсолютная постоянная для [img: http://localhost:8080/file/020521-104.jpg] при нек-ром фиксировании g>0 и C1=C1(N)- "неэффективная" постоянная для [img: http://localhost:8080/file/020521-105.jpg] при любом фиксированном N>l-g. Эти результаты являются лучшими в проблеме равномерного распределения простых чисел в арифметич. прогрессиях растущей разности d. Для фиксированных значений dизвестно несколько больше. В таком случае теория Д. L-ф. при [img: http://localhost:8080/file/020521-106.jpg] во многом аналогична теории дзета-функции Римана (см. [5]) и последняя граница нулей L(s,c), полученная по Виноградова методу оценки тригонометрич. сумм, имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/020521-107.jpg] где С- положительная постоянная, зависящая от d. Этой границе нетривиальных нулей Д. L-ф. фиксированного mod d отвечает лучший (1977) остаточный член в асимптотич. формуле для y(x; d, l)в виде: [img: http://localhost:8080/file/020521-108.jpg] Все формулы относительно асимптотики функции y(x; d, l)имеют аналоги для функции p(х; d, l) - числа простых чисел [img: http://localhost:8080/file/020521-109.jpg] (mod d), с главным членом li x/j(d). вместо x/j(d). иостаточным членом, меньшим на множитель ln x. К числу основных направлений исследований в современной теории Д. L-ф. относятся также исследования плотности распределения нетривиальных нулей Д. L-ф., содержание к-рых составляют оценки величин: [img: http://localhost:8080/file/020521-110.jpg] где N(s, T,c)обозначает число нулей L(s,c)в прямоугольнике [img: http://localhost:8080/file/020521-111.jpg] |t|<T, c*- примитивный характер mod d.