Дискретное программирование

- область математики, занимающаяся исследованием и решением экстремальных задач на конечных множествах. Пусть М={а 1, а 2,..., а п}и f - числовая функция, определенная на элементах множества М. Требуется найти элемент [img: http://localhost:8080/file/020523-7.jpg] на к-ром достигается абсолютный минимум (или абсолютный максимум) f на М. Сокращенно такие задачи записываются: [img: http://localhost:8080/file/020523-8.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020523-9.jpg] Из указанного класса задач Д. п. исследует только нетривиальные задачи, выделяемые следующими дополнительными условиями. 1. Число п=|М| должно быть достаточно большим настолько, чтобы задача не решалась непосредственным просмотром значений f(а i) вручную или на ЭВМ. Так, в задаче коммивояжера, к-рая является типичной задачей Д. п., число вариантов Qпри обходе тпунктов равно [img: http://localhost:8080/file/020523-10.jpg] В задачах минимизации булевых функций (см. Булевых функций минимизация, Булевых функций метрическая теория) |М|>22n. 2. Задача не должна быть регулярной. Задача наз. регулярной, если: а) для каждого [img: http://localhost:8080/file/020523-11.jpg] определена непустая окрестность S(а i, М), и [img: http://localhost:8080/file/020523-12.jpg] б) локальный экстремум f, т. е. точка а;такая, что f(ai) = extr f(x), [img: http://localhost:8080/file/020523-13.jpg]. определяется при помощи простого алгоритма, в) локальный экстремум совпадает хотя бы с одним глобальным. Таким образом, Д. п. рассматривает задачи, имеющие, вообще говоря, несколько локальных экстремумов. В типичных случаях число локальных экстремумов весьма велико. Напр., в задачах целочисленного линейного программирования с булевыми переменными, в к-рых функционал и ограничения зависят от переменных х 1,..., xk число элементов в Мне больше 2k, а число локальных экстремумов может быть равным const. [img: http://localhost:8080/file/020523-14.jpg] (см. [2]). Трудность решения задач Д. п. и определяется наличием большого числа локальных экстремумов. Универсальных эффективных методов решения задач Д. п. не создано (1978). Как показывают исследования по минимизации булевых функций - хорошо исследованной модельной задаче Д. п. (см. также Алгоритм локальный), создание таких методов, по-видимому, невозможно. Методы, в достаточной степени универсальные, такие, как метод ветвей и границ (см. [1]) и его различные модификации, являются методами направленного перебора. Они эффективно применяются для решения специализированных задач Д. п. Однако для каждого из таких методов существуют обширные классы задач, для к-рых методы направленного перебора мало отличаются по сложности от методов полного перебора. Другой источник математич, трудностей в задачах Д. п. состоит в том, что множество М, на к-ром ищется экстремум f, часто задается в неявной форме. Так, в задачах целочисленного линейного программирования множество Мопределяется как совокупность целочисленных решений системы линейных неравенств. При таком и более сложных способах задания Мнетривиальной становится не только задача полного перечисления М, но и указания хотя бы одного элемента из М. В силу изложенного, основные результаты Д. п. получены при решении и исследовании более узких классов задач. К таким классам относятся транспортная задача, задача о коммивояжере и нескольких коммивояжерах, линейное целочисленное программирование, задача о расписаниях (см. Расписаний теория), экстремальные задачи на графах (см. Графов теория), задачи минимального представления булевых функций и функций k-значной логики и т. д. Другое направление в теории дискретных экстремальных задач состоит в развитии приближенных методов, обычно применяемых при решении практич. задач большой размерности. Принципиально эти методы не отличаются от соответствующих методов поиска экстремумов непрерывных функций и функционалов. В Д. п. используются аналоги алгоритмов локальной оптимизации, алгоритмов спуска, случайного поиска и т. п. (см. обзор приближенных методов решения задач Д. п. в [3]). Интересным как с теоретич. точки зрения, так н в решении прикладных задач является статистический подход к задачам Д. п. Пусть совокупность задач {Z} можно представить в виде [img: http://localhost:8080/file/020523-15.jpg] где |{Z}i|>|{Z}j| при i>j и [img: http://localhost:8080/file/020523-16.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/020523-17.jpg] Говорят, что подмножество [img: http://localhost:8080/file/020523-18.jpg] составляет почти все задачи Z, если [img: http://localhost:8080/file/020523-19.jpg] Для различных классов задач Д. п. имеет место следующий факт: существует (а часто и эффективно описывается) совокупность {Z' } почти всех задач {Z}, для к-рых нахождение экстремума или хорошего приближения к экстремуму возможно в классе простых алгоритмов. Это было замечено впервые при решении задач синтеза оптимальных управляющих систем, напр, в минимизации булевых функций в классе дизъюнктивных нормальных форм, см. Булевых функций нормальные формы, а также [4]. Напр., задача выделения экстремальных конъюнкций, входящих хотя бы в одну минимальную дизъюнктивную нормальную форму булевой функции f(x1,..., х n), неразрешима в классе локальных алгоритмов при [img: http://localhost:8080/file/020523-20.jpg] где k- индекс локального алгоритма, l- величина памяти. В то же время задача выделения элементарных конъюнкций, входящих хотя бы в одну "почти минимальную" дизъюнктивную нормальную форму для почти всех булевых функций, разрешима в классе локальных алгоритмов при k =2, l=1 (см. [5]). Столь же значительное сокращение трудоемкости при переходе к почти всем задачам получается для экстремальных задач на графах, в за-, даче о построении оптимальных покрытий и т. д.