Диссипативный оператор

- линейный оператор Ас областью определения DA, плотной в гильбертовом пространстве Н, и такой, что [img: http://localhost:8080/file/020525-47.jpg] Иногда это требование заменяется условием [img: http://localhost:8080/file/020525-48.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/020525-49.jpg] т. е. диссипативность Ав этом смысле эквивалентна диссипативности оператора (-iA). Д. о. наз. максимальным, если он не имеет собственных диссипативных расширений. Д. о. всегда допускает замыкание, к-рое также будет Д. о., в частности максимальный Д. о.- замкнутый оператор. Всякий Д. о. допускает расширение до максимального. Для Д. о. все точки Xс Im l<0 есть точки регулярного типа, при этом [img: http://localhost:8080/file/020525-50.jpg] Д. о. является максимальным тогда и только тогда, когда при всех Xс Im l<0 имеет место (А-lI)DA=H. Эквивалентное условие максимальности Д. о. А- его замкнутость и выполнение условия [img: http://localhost:8080/file/020525-51.jpg] Если А 0- максимальный симметрический оператор, то либо А 0, либо (- А 0)является максимальным Д. о. Для произвольного симметрич. оператора А 0 можно рассматривать диссипативные и, в частности, максимальные диссипативные расширения; задача их описания эквивалентна задаче описания всех максимальных диссипативных расширений консервативного оператора B0=iA0: Re(В 0 х, х) = 0, [img: http://localhost:8080/file/020525-52.jpg] Д. о. тесно связаны со сжатиями и с так наз. аккретивными. операторам и, т. е. такими операторами А, для к-рых iA есть Д. о. В частности, аккретивный оператор Амаксимален тогда и только тогда, когда (-А)является порождающим оператором (генератором) непрерывной однопараметрич. полугруппы сжатийв Н. С помощью преобразований Кэли [img: http://localhost:8080/file/020525-53.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020525-54.jpg] где А- максимальный аккретивный оператор, а Т- сжатие, не имеющее l=1 собственным значением, строится функциональное исчисление и, в частности, теория дробных степеней максимальных Д. о. Для ограниченных линейных операторов Аопределение Д. о. эквивалентно требованию [img: http://localhost:8080/file/020525-55.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020525-56.jpg] - мнимая компонента оператора А. Для вполне непрерывного Д. о. в сепарабельном гильбертовом пространстве Нс ядерной мнимой компонентой AJ имеются многочисленные критерии (т. е. необходимые и достаточные условия) полноты системы их корневых векторов. Напр., [img: http://localhost:8080/file/020525-57.jpg] где lj (А)- все собственные значения оператора А, j=1,..., [img: http://localhost:8080/file/020525-58.jpg] a SpAJ -след оператора AJ (критерий Лившица); [img: http://localhost:8080/file/020525-59.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/020525-60.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020525-61.jpg] - действительная компонента оператора А, а [img: http://localhost:8080/file/020525-62.jpg] - количество характеристич. чисел оператора А R в отрезках [0, r] и [-r, 0] (критерий Крейна). Система {yj} собственных векторов, отвечающих различным собственным числам lj, j=1, 2,... Д. о., образует базис своей замкнутой линейной оболочки, эквивалентный ортонормированному, если [img: http://localhost:8080/file/020525-63.jpg] Понятие Д. о. введено и для нелинейных и даже многозначных операторов А. Такой оператор в гильбертовом пространстве наз. Д. о., если для любых двух его значений [img: http://localhost:8080/file/020525-64.jpg] выполнено неравенство Это понятие лежит в основе теории однопараметрических нелинейных сжимающих полугрупп и связанных с ними дифференциальных уравнений. Другое обобщение понятия Д. о. относится к операторам, действующим в банаховых пространствах с так называемым полувнутренним произведением. Наконец, имеется обобщение, связанное с операторами, действующими в гильбертовом пространстве с индефинитной метрикой.