Дифференциал

- главная линейная часть приращения функции. 1) Действительная функция y = f{x)действительного переменного наз. дифференцируемой в точке х, если она определена в нек-рой окрестности этой точки и если существует такое число А, что приращение [img: http://localhost:8080/file/020526-6.jpg] (при условии, что точка х+Ах лежит в упомянутой окрестности) может быть представлено в виде [img: http://localhost:8080/file/020526-7.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020526-8.jpg] при При [img: http://localhost:8080/file/020526-9.jpg] этом А Ах обозначается через dy и наз. дифференциалом функции f(х)в точке х. Д. dy при фиксированном хпропорционален Ах, т. е. является линейной функцией от D х. Дополнительный член a при [img: http://localhost:8080/file/020526-10.jpg] является, в силу определения, бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с D х (и по сравнению с dy, если [img: http://localhost:8080/file/020526-11.jpg]). Именно в этом смысле Д. и наз. главной частью приращения функции. Для функции, дифференцируемой в точке х, [img: http://localhost:8080/file/020526-12.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/020526-13.jpg], т. е. функция, дифференцируемая в некоторой точке, непрерывна в ней. Функция f(x)дифференцируема в точке хв том и только в том случае, если она имеет в этой точке конечную производную [img: http://localhost:8080/file/020526-14.jpg] при этом [img: http://localhost:8080/file/020526-15.jpg] Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Кроме обозначения dy используется обозначение df(x);тогда предыдущее равенство принимает вид [img: http://localhost:8080/file/020526-16.jpg] Приращение аргумента Ах обозначается также через dx и наз. дифференциалом независимого переменного. Поэтому можно писать [img: http://localhost:8080/file/020526-17.jpg] Отсюда f(x)=dyldx, т. е. производная равна отношению Д. dy и dx. Если А=0, то [img: http://localhost:8080/file/020526-18.jpg] при Dx->0, т. е. Ау и dy при [img: http://localhost:8080/file/020526-19.jpg] являются в случае А неравно 0 эквивалентными бесконечно малыми; этим, рав, но как и простой структурой Д. (линейностью по Ах), часто пользуются в приближенных вычислениях, полагая Dy=dy при малых D х. Если хотят, напр., вычислить f(x+Dx), зная f{x)(Dxмало), то полагают [img: http://localhost:8080/file/020526-20.jpg] Конечно, такое рассуждение имеет ценность, если можно оценить соответствующую погрешность. Геометр и чес к ое истолкование Д. Уравнение касательной к графику.функции y=f(x)в точке М(х 0, у 0). имеет вид y-y0=f '(х 0)(х-х 0). Если положить x=x0+D х, то y-y0=f'(х 0)D х. Правая часть есть значение Д. функции f(x)в точке х 0, отвечающее рассматриваемому значению Ах. Таким образом, Д. совпадает с соответствующим, приращением ординаты касательной к кривой y-f(x)(см. отрезок NT на рис. 1). [img: http://localhost:8080/file/020526-21.jpg] При этом a= Dу-dy, т. е. значение |a| совпадает с длиной отрезка TS. 2) Определение дифференцируемости и Д. естественным образом обобщается на действительные функции от пдействительных переменных. Напр., в случ. п=2 действительная функция z=f(x, у)наз. дифференцируемой в точке (х, у)по совокупности переменных хи у, если она определена в нек-рой окрестности этой точки и ее полное приращение [img: http://localhost:8080/file/020526-22.jpg] может быть представлено в виде [img: http://localhost:8080/file/020526-23.jpg] где Аи В- некоторые числа, [img: http://localhost:8080/file/020526-24.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/020526-25.jpg] r= [img: http://localhost:8080/file/020526-26.jpg] предполагается, что точка (х+D х, у+Dy). принадлежит упомянутой окрестности (см. рис. 2) При этом вводится обозначение [img: http://localhost:8080/file/020526-27.jpg] и dz наз. полным дифференциалом, или просто дифференциалом, функции f(x,у). в точке (х, у)(иногда с добавлением: "по совокупности переменных хи у"). Для фиксированной точки (х, у)Д. dz есть линейная функция от Ах и Ау;разность а= Az-dz есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с р. В этом смысле dz есть главная линейная часть приращения Az. [img: http://localhost:8080/file/020526-28.jpg] Если f(x, у)дифференцируема в точке (х, у), то oн непрерывна в этой точке и имеет в ней конечные частные производные [img: http://localhost:8080/file/020526-29.jpg] Таким образом [img: http://localhost:8080/file/020526-30.jpg] Приращения Ах и Ау независимых переменных, как и в случае одного переменного, обозначаются dx и dу По этой причине можно написать [img: http://localhost:8080/file/020526-31.jpg] Существование конечных частных производных, во обще говоря, не влечет дифференцируемости функции (даже если предполагать заранее ее непрерывность) здесь нарушается аналогия с функциями одного переменного. Если функция f(x, у)имеет в точке (х, у)частную производную по х, то произведение fx(x, y)dx наз. частным дифференциалом по х;аналогично, f'y(x, y)dy есть частный Д. по у. Если функция дифференцируема, то ее полный Д. равен сумме частных Д. Геометрически полный Д. df(x0, у 0)есть приращение аппликаты касательной плоскости поверхности z-f(x, у)в точке (х 0, у 0, z0), где z0=f(z0, у 0)(см. рис. 3). [img: http://localhost:8080/file/020526-32.jpg] Достаточный признак дифференцируемости функции: если в некоторой окрестности точки (x0, y0) функция f(x, у) име ет частную производную f'x, непрерывную в точке (х 0, у 0), и, кроме того, имеет в точке (х 0, у 0)частную производную f'y, то f(x, у)дифференцируема в этой точке Если функция f(x, у)дифференцируема в каждо точке открытой области D, то в любой точке этой области [img: http://localhost:8080/file/020526-33.jpg] причем (х, y) = fx(x, у), В(х, y) = f'y(x, у). Если при этом существуют непрерывные в Dчастные производные А' у и В' х, то всюду [img: http://localhost:8080/file/020526-34.jpg] Это показывает, в частности, что не всякое выражение [img: http://localhost:8080/file/020526-35.jpg] с непрерывными А и В (вобласти D)является в этой области полным Д. нек-рой функции двух переменных. В этом состоит еще одно нарушение аналогии с функциями одного переменного, где любое выражение A(x)dx с непрерывной в нек-ром промежутке функцией (х). служит Д. для нек-рой функции. Выражение Adx+Bdy является полным Д. нек-рой функции z=f(x, у), в односвязной открытой области D, если (х, у)и В(х, у)непрерывны в этой области и удовлетворяют условию А' =В' Х и при этом а) А'y и В' х непрерывны или б) (х, у) и В(х, у) дифференцируемы по совокупности переменных хи увсюду в D(см. [7], [8]). О Д. действительных функций одного или нескольких действительных переменных и о Д. высших порядков см. также Дифференциальное исчисление. 3) Пусть функция f(x)определена на нек-ром множестве Едействительных чисел, х- предельная точка этого множества, [img: http://localhost:8080/file/020526-36.jpg] Dy=АDx+a, где [img: http://localhost:8080/file/020526-37.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/020526-38.jpg]; тогда функция f(x)наз. дифференцируемой по множеству Ев точке х,a dy=AD х наз. ее дифференциалом" по множеству Еточке х. Это есть обобщение Д. действительной функции одного действительного переменного. Разновидностями этого обобщения являются Д. в концах промежутка, на котором определена функция, и аппроксимативный Д. (см. Аппроксимативная дифференцируемоетъ). Подобным же образом вводится Д. по множеству для действительных функций многих действительных переменных. 4) Все эти определения дифференцируемости и Д. почти без изменений распространяются соответственно на комплексные функции одного или нескольких действительных переменных, на действительные и комплексные вектор-функции одного или нескольких действительных переменных, на комплексные функции и вектор-функции одного или нескольких комплексных переменных. В функциональном анализе они распространяются на функции точки абстрактного пространства. Можно говорить о дифференцируемости и Д. функции множества по отношению к нек-рой мере.