Дифференциалов модуль

модуль Кэлеровых дифференциалов,- алгебраический аналог понятия дифференциала функции. Пусть А- коммутативное кольцо, рассматриваемое как алгебра над своим подкольцом В. Д. м. В-алгебры А определяется как фактормодульхW1A/B. свободного A-модуля с базисом [img: http://localhost:8080/file/020526-91.jpg] по подмодулю, порожденному элементами вида [img: http://localhost:8080/file/020526-92.jpg] где х, [img: http://localhost:8080/file/020526-93.jpg], [img: http://localhost:8080/file/020526-94.jpg] Канонич. гомоморфизм Л-модулей d: A->W1A/B является B-дифференцированием кольца А(см. Дифференцирование кольца) со значением в A-модуле W1A/B, обладающим следующим свойством универсальности: для любого B-дифференцирования д: А->Мсо значением в А-модуле Мсуществует однозначно определенный гомоморфизм А-модулей [img: http://localhost:8080/file/020526-95.jpg] такой, что [img: http://localhost:8080/file/020526-96.jpg] Соответствие [img: http://localhost:8080/file/020526-97.jpg] определяет изоморфизм А-модулей [img: http://localhost:8080/file/020526-98.jpg] В частности, модуль дифференцирований кольца Ав себя изоморфен двойственному A-модулю к модулю W1A/B. Если [img: http://localhost:8080/file/020526-99.jpg] рассматривать как A-алгебру относительно гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/020526-100.jpg] и I - идеал, порожденный элементами вида [img: http://localhost:8080/file/020526-101.jpg] то A-модуль [img: http://localhost:8080/file/020526-102.jpg] изоморфен A-модулю I/I2. Д. м. W1. обладает следующими свойствами: 1) Если S- мультипликативно замкнутое множество в А и [img: http://localhost:8080/file/020526-103.jpg] то существует канонич. изоморфизм локализации [img: http://localhost:8080/file/020526-104.jpg] 2) Если j: [img: http://localhost:8080/file/020526-105.jpg] - гомоморфизм B-алгебр, то определена каноническая точная последовательность А'- модулей: [img: http://localhost:8080/file/020526-106.jpg] 3) Если I - идеал кольца Аи A' = AlI, то существует каноническая точная последовательность A'-модулей: [img: http://localhost:8080/file/020526-107.jpg] где гомоморфизм d' индуцирован дифференцированием d: [img: http://localhost:8080/file/020526-108.jpg] 4) Поле Кявляется сепарабельным расширением поля kконечной степени трансцендентности пв том и только в том случае, когда существует изоморфизм K-пространств [img: http://localhost:8080/file/020526-109.jpg] 5) Если А=В[ Т 1,..., Т n]- алгебра многочленов, то W1A/B свободный A-модуль с базисом dT1,..., dTn. 6) Алгебра А конечного типа над совершенным полем кйвляется регулярным кольцом тогда и только тогда, когда A-модуль [img: http://localhost:8080/file/020526-110.jpg] проективен. 7) В свойстве 2) А-алгебра Л' конечного типа является гладкой над А тогда и только тогда, когда гомоморфизм а инъективен, а Д. м. [img: http://localhost:8080/file/020526-111.jpg] проективен и его ранг равен относительной размерности А' над A. Внешняя степень [img: http://localhost:8080/file/020526-112.jpg] Д. м. [img: http://localhost:8080/file/020526-113.jpg] наз. модулем дифференциальных i-форм В-алгебры А и обозначаетсяWiA/B Свойство 1) позволяет для любого морфизма схем [img: http://localhost:8080/file/020526-114.jpg] определить пучок относительных (или кэлеро'вых) дифференциалов [img: http://localhost:8080/file/020526-115.jpg] и их внешние степени WiX/Y.