Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

- обыкновенное дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/020530-76.jpg] левая часть к-рого может быть записана в виде полной производной: [img: http://localhost:8080/file/020530-77.jpg] Другими словами, уравнение (1) является Д. у. в п. д., если существует такая дифференцируемая функция Ф(х, и 0, и 1,..., и п_1), что [img: http://localhost:8080/file/020530-78.jpg] тождественно по всем аргументам. Решение уравнения n-го порядка в полных дифференциалах сводится к решению [img: http://localhost:8080/file/020530-79.jpg] уравнения (n-1)-го порядка Пусть F(x, и 0, и 1,..., и n) есть праз непрерывно дифференцируемая функция, а Ф (х, и 0, и 1,..., и п-1)- функция, имеющая непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно. Пусть [img: http://localhost:8080/file/020530-80.jpg] Для того чтобы уравнение (1) было Д. у. в п. д., достаточно, чтобы функции DvF, v=0, 1,..., п, не зависели от и п и DnF=0 (см. [1]). В частности, и п может входить в Fтолько линейно. Уравнение 1-го порядка [img: http://localhost:8080/file/020530-81.jpg] где функции М, N, M'y, n'x определены и непрерывны в открытой односвязной области Dплоскости (х, у)и М 2+N2>0 в D, будет Д. у. в п. д. в том и только в том случае, когда [img: http://localhost:8080/file/020530-82.jpg] Общее решение уравнения (2) в полных дифференциалах имеет [img: http://localhost:8080/file/020530-83.jpg] вид Ф{х, у)=0, где и интеграл берется по любой спрямляемой кривой, лежащей в области Dи соединяющей произвольную фиксированную точку [img: http://localhost:8080/file/020530-84.jpg] с точкой (х, у)(см. [2]). Уравнение (2) (в общем случае уравнение (1), линейное по y(n)) может быть приведено (при нек-рых предположениях) к Д. у. в п. д. умножением на интегрирующий множитель.