Дифференциал на римановои поверхности

- дифференциальная форма на римановой поверхности S, инвариантная относительно конформного преобразования локального униформизирующего параметра z=x+iy. Чаще всего встречаются дифференциалы (д.) первого' порядка - это дифференциальные формы размерности 1, линейные относительно дифференциалов каждой из переменных (х, у), вида [img: http://localhost:8080/file/020526-39.jpg] инвариантные относительно замены параметра, с достаточно гладкими коэффициентами р, q,...; д. нулевого порядка - это достаточно гладкие комплексные функции f=f(x, у), g=g(x, у),..., инвариантные относительно замены параметра, т. е. функции точки PОS; д. второго порядка имеют вид [img: http://localhost:8080/file/020526-40.jpg] Все д. на римановых поверхностях порядков k>2 тождественно равны 0. Сложение д. на римановых поверхностях одного и того же порядка определяется естественным путем: [img: http://localhost:8080/file/020526-41.jpg] оно коммутативно и ассоциативно. Внешнее умножение д. на римановых поверхностях дистрибутивно относительно сложения, обозначается знаком [img: http://localhost:8080/file/020526-42.jpg] и определяется правилами: [img: http://localhost:8080/file/020526-43.jpg] отсюда [img: http://localhost:8080/file/020526-44.jpg] Вообще, при внешнем умножении д. порядка кна д. порядка lпри [img: http://localhost:8080/file/020526-45.jpg] получается д. порядка k+1, а при [img: http://localhost:8080/file/020526-46.jpg] - тождественный нуль. Линейный оператор дифференцирования [img: http://localhost:8080/file/020526-47.jpg] переводит д. порядка k в д. порядка k+1: [img: http://localhost:8080/file/020526-48.jpg] Кроме того, [img: http://localhost:8080/file/020526-49.jpg] и всегда dd=0. Для д. на римановых поверхностях важен также линейный оператор звездного сопряжения [img: http://localhost:8080/file/020526-50.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/020526-51.jpg] Оператор звездного сопряжения не совпадает с оператором комплексного сопряжения. Последний обозначается чертой: если f=g+ih, то [img: http://localhost:8080/file/020526-52.jpg] =g-ih, [img: http://localhost:8080/file/020526-53.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/020526-54.jpg] dx+ [img: http://localhost:8080/file/020526-55.jpg] dy, [img: http://localhost:8080/file/020526-56.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/020526-57.jpg] dxdy;. далее, [img: http://localhost:8080/file/020526-58.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020526-59.jpg] Оператор Лапласа A=d*d определен на д. нулевого порядка: [img: http://localhost:8080/file/020526-60.jpg] Дифференциал со наз. точным, если существует функция f на Sтакая, что всюду w=df, если w=*df, то со наз. коточным; д. со наз. замкнутым, если dw=0 на S, если d*w=0, то со - козамкнутый д. Из точности вытекает замкнутость, но обратное неверно. Пусть с 1, с 2,...- циклы на S. Интегралы [img: http://localhost:8080/file/020526-61.jpg] называемые периодами дифференциала со, определяются обычным образом при помощи локальных униформизирующих. Если с 1 и с 2 гомологичны на Sи w - замкнутый д., то [img: http://localhost:8080/file/020526-62.jpg] т. е. периоды замкнутого д. зависят только от класса гомологий. Все периоды точного д. равны нулю. Обратно, замкнутый д. является точным тогда и только тогда, когда все его периоды равны 0. Функция [img: http://localhost:8080/file/020526-63.jpg] наз. гармонической на S, если Df=0. Дифференциал [img: http://localhost:8080/file/020526-64.jpg] наз. гармоническим дифференциалом на S, если со замкнут и козамкнут, dw=d*w=0. Гармонич. д. со является полным дифференциалом гармонич. функции в окрестности каждой точки [img: http://localhost:8080/file/020526-65.jpg] Если действительные функции и, [img: http://localhost:8080/file/020526-66.jpg]. на Sсвязаны соотношением du=*du, то они суть сопряженные гармонич. функции, удовлетворяющие условиям Коши - Римана. Следовательно, функция [img: http://localhost:8080/file/020526-67.jpg] является регулярной аналитической, или голоморфной, на S, если *df=-idf. Дифференциал [img: http://localhost:8080/file/020526-68.jpg] наз. регулярным аналитическим, или голоморфным, дифференциалом на S, если dw=0 и *w=-iw. Голоморфный д. со является полным дифференциалом голоморфной функции в окрестности каждой точки [img: http://localhost:8080/file/020526-69.jpg] Голоморфный д. со представим локально в виде w=fdz, где dz=dx+idy, а f - голоморфная функция от z. Классы эквивалентности измеримых комплексных дифференциалов на римановой поверхности, для к-рых интеграл [img: http://localhost:8080/file/020526-70.jpg] конечен, образуют гильбертово пространство L2(S)с обычным сложением, умножением на комплексные скаляры и скалярным произведением Каждый д. со класса [img: http://localhost:8080/file/020526-71.jpg] единственным [img: http://localhost:8080/file/020526-72.jpg] образом представим в виде суммы w=wh+df+*dg, где [img: http://localhost:8080/file/020526-73.jpg] и wh - гармонический д. на римановой поверхности. Рассмотренные выше гармонические и голоморфные функции или д. класса С 1 на Sназ. регулярными на S. Пусть в проколотой окрестности Uточки [img: http://localhost:8080/file/020526-74.jpg] определен д. q, к-рый, напр., гармоничен в U. Тогда говорят, что гармонич. д. со имеет особенность О в Р 0, если разность w-q является регулярным гармонич. д. Аналогичные определения применяются для гармонич. и аналитич. функций, аналитич. д. и т. п. В частности, в случае аналитического д. w=fdz обычно предполагается, что функция fлибо регулярная аналитическая в окрестности каждой точки [img: http://localhost:8080/file/020526-75.jpg] либо имеет на Sлишь изолированные особые точки однозначного характера. Аналитич. д. со, имеющий на Sтолько особенности в виде полюсов [img: http://localhost:8080/file/020526-76.jpg] наз. мероморфным дифференциалом; при этом [img: http://localhost:8080/file/020526-77.jpg] п - порядок полюса, при n=1 полюс наз. простым, a-1- вычет д. со в полюсе Р 0. Мероморфные д. на компактной римановой поверхности Sназ. абелевыми дифференциалами. Гармонич. функции на Sили на нек-рой области [img: http://localhost:8080/file/020526-78.jpg] имеющие заданные особенности, иногда наз. абелевььми потенциалами. Интегрирование абелевых д. приводит к абелевым интегралам, исчерпывающим в сущности все интегралы от алгебраич. функций. При изучении аналитич. д. на произвольной, вообще говоря, некомпактной римановой поверхности Sестественное требование сохранения основных черт классич. теории д. на компактных римановых поверхностях приводит к необходимости наложить на рассматриваемые регулярные д. дополнительные конформно инвариантные ограничения, наиболее употребительным из к-рых является условие интегрируемости, напр., аналитич. д. w=fdz с квадратом, т. е. условие конечности интеграла Дирихле: [img: http://localhost:8080/file/020526-79.jpg] В теории д. на римановых поверхностях основное значение имеет проблема существования гармонич. и аналитич. д. с заданными особенностями на произвольной римановой поверхности S. С этим вопросом непосредственно связана проблема глобальной униформизации римановых поверхностей, т. к. построение глобальной униформизирующей требует именно умения строить д. с заданными особенностями. Ниже приведены основные результаты по проблеме существования.. Если на Sсуществует цикл с, не гомологичный нулю, то на Sсуществует всюду регулярный гармонич. д. w с периодоми всюду регулярный аналитич. д. w+i*w. Эти [img: http://localhost:8080/file/020526-80.jpg] д. не являются точными, и поэтому при их интегрировании нельзя получить однозначных на Sгармонич. или аналитич. функций. На компактной римановой поверхности Sвсякий гармонический и точный д. тождественно равен нулю. Напротив, на некомпактных римановых поверхностях существуют отличные от тождественного нуля всюду регулярные точные гармонические и голоморфные д. Пусть Р 0- любая фиксированная точка произвольной римановой поверхности S, п- любое натуральное число. Тогда существуют: точный гармонич. д. с особенностью d(1/zn) в P0; точный действительный гармонич. д. с особенностью Re d(l/zn) или Im d(l/zn) в Р о;гармонич. функция с особенностью 1/zn в Р 0;аналитич. д. с особенностью d(l/zn)в Р 0, у к-рого действительная часть есть точный д. Пусть Р 0 и Р 1- любые различные точки S. Тогда существуют: гармонич. или аналитич. д. на Sс особенностями -dz/z в Р 0 и dz/z в Р 1;. действительная гармонич. функция на S с особенностями -ln|z| в Р 0 и ln|z| в Р 1. Пусть Р 0, Р 1,..., Р n - любые попарно различные точки на Sи с 0, с 1,..., с п- любые отличные от нуля комплексные числа такие, что c0+c1+... +cn=0. Существует гармонический или аналитический д. на S, всюду регулярный, кроме Р 0, Р 1,..., Р п, а в точках Р j имеющий простые полюсы соответственно с вычетами cj, j = 0, 1,..., п. Для жордановых областей [img: http://localhost:8080/file/020526-81.jpg] т. е. таких областей, граница к-рых дD состоит из пнепересекающихся жордановых кривых с 1, с 2,..., с n, возможно также решение Дирихле задачи. Наиболее законченной является теория д. для компактных римановых поверхностей S. Пусть род Sравен g. Векторное пространство [img: http://localhost:8080/file/020526-82.jpg] регулярных гармонич. д. со над полем комплексных чисел имеет размерность 2g. Если a1bia2b2.. agbg- циклы канонич. базиса гомологии S, то в качестве канонич. базиса д. [img: http://localhost:8080/file/020526-83.jpg] можно выбрать д. wi, i=1, 2,..., g, с периодом 1 вдоль ai, а вдоль а j, [img: http://localhost:8080/file/020526-84.jpg] и вдоль всех bi - с периодом 0; далее, wg+i, i=l, 2,..., g, имеют период 1 вдоль b, а вдоль bj, [img: http://localhost:8080/file/020526-85.jpg] и вдоль всех а i- период 0. Любой гармонич. д. со представляется в виде линейной комбинации [img: http://localhost:8080/file/020526-86.jpg] где А i- так наз. A-периоды со вдоль циклов а i, а В i суть B-периоды w вдоль циклов bi. Голоморфные д. на компактной римановой поверхности наз. абелевым и дифференциалами первого рода. Размерность векторного пространства голоморфных д. равна g. Все введенные выше д. на римановой поверхности можно выразить через переменные zи г, напр.: [img: http://localhost:8080/file/020526-87.jpg] и т. д. В отличие от комплексных многообразий высших размерностей, на римановых поверхностях нетривиальны только внешние дифференциальные формы типов (0, 0), (1, 0), (0, 1) и (1, 1), имеющие соответственно вид [img: http://localhost:8080/file/020526-88.jpg] При этом аналитич. д. зависят только от z: [img: http://localhost:8080/file/020526-89.jpg] Применяются также нелинейные дифференциальные формы вида [img: http://localhost:8080/file/020526-90.jpg] где ти п- целые числа. Они также наз. дифференциалами типа (т, п), или размерности (т, п). При этом д. типа (0, 0) наз. функциями, типа (1, 0) - линейными дифференциалами, типа (-1, 0) - обратными дифференциалами, типа (2, 0) - квадратичными дифференциалами. Наибольшие применения получили квадратичные дифференциалы. См. также Глобальная структура траекторий, Локальная структура траекторий, Риманоеа поверхность, Униформизация.