Диффузионный процесс

- непрерывный марковский процесс X=X(t)с переходной плотностью p(s, х, t, у), удовлетворяющей следующим условиям: существуют функции a(t, х)и s2(f, x), называемые соответственно коэффициентами сноса и диффузии, такие, что для любого e>0 [img: http://localhost:8080/file/020538-67.jpg] (причем обычно предполагается, что эти предельные соотношения выполняются равномерно по tв каждом конечном интервале [img: http://localhost:8080/file/020538-68.jpg] и по x, [img: http://localhost:8080/file/020538-69.jpg]). Важнейшим представителем этого класса процессов является процесс броуновского движения, впервые рассмотренный как математич. модель процессов диффузии (отсюда и название "Д. п."). Если переходная плотность р(s, x, t, у)непрерывна по s и х вместе со своими производными [img: http://localhost:8080/file/020538-70.jpg] р (s, x, t, у)и [img: http://localhost:8080/file/020538-71.jpg] p(s, х, t, у), то она является фундаментальным решением дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/020538-72.jpg] к-рое наз. обратным уравнением Колмогорова. В однородном случае, когда коэффициенты сноса a(t, x)=a(x)и диффузии s2(t, x)=s2x). не зависят от времени t, обратное уравнение Колмогорова для соответствующей переходной плотности р(s, x, t, y)=p(t-s, х, у)имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/020538-73.jpg] Если переходная плотность р(s, x, t, у)имеет непрерывную по t и упроизводную [img: http://localhost:8080/file/020538-74.jpg] р(s, х, t, у)такую, что функции [img: http://localhost:8080/file/020538-75.jpg] [a(t, y)p(s, x, t, у)]и [img: http://localhost:8080/file/020538-76.jpg] [s2(t, y)p(s, х, t, у)]непрерывны по у, то она является фундаментальным решением дифференциального уравнения [img: http://localhost:8080/file/020538-77.jpg] к-рое наз. уравнением Фоккера - Планка, или прямым уравнением Колмогорова. Дифференциальные уравнения (2) и (3) для плотности вероятности являются основой аналитич. методов изучения Д. п. Существует и другой, чисто "вероятностный", подход к Д. п., основанный на представлении процесса X(t)как решения стохастического дифференциального уравнения Ито [img: http://localhost:8080/file/020538-78.jpg] где Y(t)- стандартный процесс броуновского движения. Грубо говоря, при таком подходе считают X(t)связанным с нек-рым процессом броуновского движения Y(t)таким образом, что при условии X(f)=x за последующее время At приращение AX(t)=X(t+At)-X{t)есть [img: http://localhost:8080/file/020538-79.jpg] Если понимать это асимптотич. соотношение в том смысле, что [img: http://localhost:8080/file/020538-80.jpg] где o(At)- величины того же типа, что и в равенствах (1), то рассматриваемый процесс X(t)будет диффузионным и в смысле этого определения. Многомерным Д. п. обычно наз. непрерывный марковский процесс X(t)=(X1(t),..., Х n(t)}в п-мерном векторном пространстве Е п, переходная плотность p(s, х, t, у)к-рого удовлетворяет следующим условиям: для любого e>0 [img: http://localhost:8080/file/020538-81.jpg] Вектор а={a1(t, х),..., an(t, x)}характеризует локальный снос процесса x(t), матрица s2= ||2bkj(t, x)||, k, i=1,..., п, характеризует среднеквадратичное отклонение случайного процесса x(t) от исходного положения хза малый промежуток времени от tдо t+Dt. При нек-рых дополнительных ограничениях переходная плотность р(s, х, t, у)многомерного Д. п. удовлетворяет обратному и прямому дифференциальным уравнениям Колмогорова: [img: http://localhost:8080/file/020538-82.jpg] Многомерный Д. п. X(t)может быть описан также при помощи стохастических дифференциальных уравнений Ито: [img: http://localhost:8080/file/020538-83.jpg] где Y1(t),..., Yn(t)- взаимно независимые процессы броуновского движения, а [img: http://localhost:8080/file/020538-84.jpg] суть собственные векторы матрицы s2= ||2bkj(t, x)||.